Math´ ematiques Concours blanc n
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Epreuve n
◦1 Novembre 2018
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
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electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
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Exercice 1
.Pour tout entier naturelnnon nul, on notefn la fonction d´efinie par :
∀x∈R∗+, fn(x) =x−nln(x) 1. (a) Etudier cette fonction et dresser son tableau de variations.
(b) En d´eduire, lorsque n est sup´erieur ou ´egal `a 3, l’existence de deux r´eels un et vn solutions de l’´equation fn(x) = 0 et v´erifiant 0< un< n < vn.
2. Etude de la suite (un)n≥3.
(a) Montrer que∀n≥3,1< un< e.
(b) Montrer quefn(un+1) = ln(un+1), puis en conclure que (un) est d´ecroissante.
(c) En d´eduire que (un)n≥3 converge et montrer, en encadrant ln(un),que lim
n→+∞un= 1.
(d) Montrer que lim
n→+∞
ln(un)
un−1 = 1 ; en d´eduire que
un−1 ∼
n→+∞
1 n 3. Etude de la suite (vn)n≥3.
(a) Calculer lim
n→+∞vn.
(b) Calculerfn(nln(n)) puis montrer que
∀n≥3, nln(n)< vn. (c) Soitg la fonction d´efinie par :
∀x∈R∗+, g(x) =x−2 ln(x) Etudier get donner son signe. En d´eduire que
∀n∈N∗, n >2 ln(n).
(d) En d´eduire le signe defn(2nln(n)), puis ´etablir que :
nln (n)< vn <2nln(n) (e) Montrer enfin que :
ln(vn) ∼
n→+∞ln(n)
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Exercice 2
.Soitf d´efinie pour toutx∈R∗+ par :
f(x) = ln (x) +x 1. (a) ´Etudier les variations de f.
(b) D´eterminer le signe def(x)−x.
2. Soitula suite d´efinie paru0>1 et pour tout entiern,
un+1=f(un)
(a) ´Ecrire en Scilab un algorithme calculantun,net u0 ´etant demand´es `a l’utilisateur.
(b) Montrer que pour tout entiern:
un≥1 En d´eduire que la suite est croissante.
(c) Montrer que la suite (un) n’est pas major´ee et d´eterminer sa limite.
On suppose `a pr´esent queu0=e (d) Montrer que, pour tout entiern:
un+1≥un+ 1 En d´eduire queun ≥n+eet retrouver la limite de la suite.
3. Soitv d´efinie parv0∈]0,1[ et pour tout entiern,
vn+1=f(vn)
Montrer qu’il existe un entiernpour lequelvn<0 et en d´eduire qu’elle n’est plus d´efnie `a partir den+ 1.
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Exercice 3
.Soitf l’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canoniqueB deR3 est :
A=
2 10 7
1 4 3
−2 −8 −6
On noteIla matrice identit´e deM3(R) et on pose
u=
2 1
−2
.
1. (a) Montrer que Ker(f) = Vect(u).
(b) La matriceAest-elle inversible ?
2. (a) D´eterminer le vecteurv deR3, dont la deuxi`eme coordonn´ee dansBvaut 1, et tel que f(v) =u.
(b) D´emontrer que le vecteurwdeR3, dont la deuxi`eme coordonn´ee dans Bvaut 1, et qui v´erifief(w) =v est
w=
0 1
−1
.
(c) Montrer que (u, v, w) est une base de R3 que l’on noteraB0. On noteP la matrice de passage de la baseB`a la base B0.
3. (a) ´Ecrire la matriceN def relativement `a la baseB0.
(b) Donner la relation liant les matricesA, N, P et P−1, puis d´emontrer que, pour tout entierksup´erieur ou ´egal
`
a 3, on a :
Ak= 03.
4. On noteCN (respectivementCA) l’ensemble des matrices deM3(R) qui commutent avecN (respectivementA).
(a) Montrer queCN est un sous-espace vectoriel deM3(R) et que CN = Vect(I, N, N2).
On admet que CAest aussi un sous-espace vectoriel de M3(R).
(b) ´Etablir que :
M ∈CA ⇐⇒ P−1M P ∈CN. En d´eduire que
CA= Vect(I, A, A2).
Quelle est la dimension deCA?
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