MPSIA 2012/2013 Devoir en temps limit´e n˚5 (3h) Vendredi 14 d´ecembre
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
Les six exercices sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice 1. D´eterminer les limites des suites r´eellesx= (xn)n∈N∗,y= (yn)n∈N∗ etu= (un)n∈N∗ d´efinies par
∀n∈ N∗, xn= nln(n)
(ln(n))n, yn= pn
n3+n et zn=
n+ 3 n
n .
Exercice 2. Etudier la convergence de la suite r´´ eellex= (xn)n∈
N d´efinie par x0= 1
∀n∈N, xn+1 =√ 1 +xn.
Exercice 3. On note log(2) le logarithme d´ecimal de 2.
On rappelle quelog(x) = ln(x)
ln(10), ou encore quelogest l’application r´eciproque sur]0,+∞[de x7→10x.
En raisonnant par l’absurde, montrer que log(2) est irrationnel.
Exercice 4. On d´efinit la suite r´eelleu= (un)n∈
N ainsi : pour toutn∈N∗,un=
n
X
k=0
1 k!.
On d´efinit le r´eelepare= exp(1) o`u exp est l’unique solution surRdu probl`eme de Cauchyy0=y ety(0) = 1.
1. Montrer que pour tout natureln,e=un+ Z 1
0
(1−t)n n! etdt.
2. En d´eduire que lim
n→+∞un =e, puis, pour n∈N∗, un encadrement dee`a e n! pr`es.
3. D´emontrer que pour toutn∈N, il existe un r´eel θn∈]0, e+ 1[ tel quee−un= θn
(n+ 1)!. 4. On suppose quee∈Qet donc quees’´ecrite=p
q avec (p, q)∈N∗2,p∧q= 1.
(a) Exprimer, pour toutn∈N∗,pn!−qn!un en fonction den,θn etq.
(b) En d´eduire une contradiction. Conclure sur la nature dee.
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MPSIA 2012/2013 Devoir en temps limit´e n˚5 (3h) Vendredi 14 d´ecembre
Exercice 5. On s’int´eresse dans cet exercice aux r´eels a2= cos2π
7 ,a4= cos4π
7 eta6= cos6π 7 . 1. On poseω=e2iπ7 . Exprimer a2,a4 eta6 en fonction des puissances deω.
2. SoitP(X) l’unique polynˆomeunitaire(i.e. dont le coefficient de plus haut degr´e vaut1)de degr´e 3 dont les racines sonta2, a4 eta6.
Exprimer, en fonction dea2,a4et a6les coefficients du polynˆomeP. 3. D´emontrer queP(X) =X3+1
2X2−1 2X−1
8.
4. D´emontrer que tout racine deP est irrationnelle. En d´eduire la nature dea2,a4 eta6
Exercice 6. Soita∈R. On d´efinit les suites r´eellesu= (un)n∈
Net v= (vn)n∈
Npar les relations
∀n∈N, un = cos(na) etvn= sin(na).
1. On suppose dans cette question que a
2π est rationnel. On ´ecrit a 2π =p
q avecq∈N∗,p∈Zet p∧q= 1.
(a) Montrer que les suitesuetv sont p´eriodiques.
(b) Montrer qu’une suite r´eelle p´eriodique converge si et seulement si elle est constante.
(c) En d´eduire queuetv convergent si et seulement sia∈2πZ. 2. On suppose dor´enavant que a
2π est irrationnel.
(a) Pourn∈N:
i. exprimer vn+1 `a l’aide d’une combinaison lin´eaire deun et devn; ii. en d´eduire une expression deun en fonction devn+1 etvn. (b) En d´eduire que siv converge, alorsuconverge.
(c) Par un raisonnement analogue, d´emontrer queuconverge si et seulement siv converge.
(d) On suppose queuconverge versxet quev converge versy.
i. D´emontrer que xet y sont solutions du syst`eme lin´eaire
xsin(a) +y(cos(a)−1) = 0 x(cos(a)−1)−ysin(a) = 0.
ii. D´emontrer que x=y= 0.
iii. En d´eduire une contradiction.
(e) Conclure : que peut-on dire des suitesuetv
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