Math´ ematiques Devoir surveill´ e n
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F´ evrier 2019
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
´
electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
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Exercice 1
.1. Pour toutn∈N, on d´efinit la fonctiongn: [0,+∞[→Rpar : gn(x) =(ln(1 +x))n
(1 +x)2 .
(a) ´Etudier les variations de la fonctiong0, d´efinie sur [0,+∞[ par :g0(x) = 1 (1 +x)2.
Pr´eciser la limite de g0 en +∞, donner l’´equation de la tangente en 0, et donner l’allure de la courbe repr´esentative deg0.
(b) Pourn>1, justifier quegn est d´erivable sur [0,+∞[ et montrer que :
∀x∈[0,+∞[, g0n(x)>0 ⇐⇒ n>2 ln(1 +x).
En d´eduire les variations de la fonction gn lorsquen>1.
Calculer soigneusement lim
x→+∞gn(x).
(c) Montrer que, pourn>1,gn admet un maximum sur [0,+∞[ qui vaut : Mn =n
2e n
et d´eterminer lim
n→+∞Mn.
(d) Montrer enfin que pour toutn>1 :
gn(x) =
x→+∞o 1
x3/2
2. On pose pour toutn∈N:
In= Z +∞
0
gn(t)dt.
(a) Montrer que l’int´egraleI0 est convergente et la calculer.
(b) Montrer que pour tout entiern>1, l’int´egraleIn est convergente.
(c) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que :
∀n∈N, In+1= (n+ 1)In
(d) En d´eduire que :
∀n∈N, In=n!.
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Exercice 2
.On consid`ere l’applicationϕd´efini surR+ par :
ϕ(x) = 1−x2ln (x) six >0 ϕ(0) = 1
ainsi que la fonctionf des variables r´eellesxet y d´efinie par :
∀(x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, f(x, y) =xy+ ln (x) ln (y) PARTIE I. Etude des z´eros de ϕ.
1. D´eterminer la limite de ϕ(x) lorsque x tend vers +∞, ainsi que la limite de ϕ(x)
x lorsque x tend vers +∞.
Interpr´eter graphiquement cette limite.
2. Prouver queϕest continue sur R+.
3. Justifier la d´erivabilit´e deϕsurR∗+ et calculer sa fonction d´eriv´ee.
4. Montrer que ϕ est d´erivable en 0. Donner l’allure de la repr´esentation graphique de ϕ au voisinage du point d’abscisse 0.
5. Dresser le tableau de variations deϕ.
6. On rappelle que ln (2)'0,7. Montrer l’existence d’un unique r´eelαtel queϕ(α) = 0 et justifier que
√
2< α <2.
7. ´Etablir la convergence de l’int´egraleI= Z α
0
ϕ(x)dxet v´erifier que :
I= α 6 +α2 9
8. On consid`ere les deux suites (an)n∈N et (bn)n∈Nd´efinies par :a0=√
2 etb0= 2.
∀n≥0, si ϕ(an)ϕ
an+bn
2
<0 alors an+1=an et bn+1=an+bn
2
∀n≥0, si ϕ(an)ϕ
an+bn 2
≥0 alors an+1= an+bn
2 et bn+1=bn Ecrire un programme en Scilab calculant´ a7 etb7.
PARTIE II. Extrema de f sur ]0,+∞[×]0,+∞[
Rappelons queαest l’unique r´eel v´erifiantϕ(α) = 0.
1. Justifier soigneusement quef est de classeC2sur ]0,+∞[×]0,+∞[.
2. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 def et prouver que le point de coordonn´ees 1
α, 1 α
est l’unique point critique def sur ]0,+∞[×]0,+∞[.
3. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 def sur ]0,+∞[×]0,+∞[ et ´etablir que pour tous r´eelsxetystrictement positifs :
∂1,12 (f) (x, y) =y x
2 1−ϕ
1 y
∂2,12 (f) (x, y) = 1 + 1 xy
∂2,22 (f) (x, y) = x
y 2
1−ϕ 1
x
4. La fonctionf pr´esente-t-elle un extremum local sur ]0,+∞[×]0,+∞[ ? Si oui, en donner la nature (maximum ou minimum).
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Exercice 3
.On consid`ere l’applicationf :R→R, d´efinie par : f(t) =
0 sit≤0,
1
(1 +t)2 sit >0.
1. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative def. 2. Montrer que, pour tout r´eelx, l’int´egrale
Z x
−∞
f(t)dtconverge, et calculer cette int´egrale.
Indication : on distinguera les casx≤0 etx >0.
3. D´eterminer un r´eel positifαtel que
Z α 0
f(t)dt= 1 2. 4. Soitx∈R+ fix´e. On consid`ere la fonctionϕx d´efinie surR+ par :
∀u∈R+, ϕx(u) = Z x+u
x−u
f(t)dt.
(a) Calculerϕx(0) et lim
u→+∞ϕx(u).
(b) Montrer que pour (u, v)∈R2+, si u < valors
ϕx(v)−ϕx(u)≥ Z x+v
x+u
f(t)dt.
En d´eduire queϕxest strictement croissante surR+.
(c) On admet queϕx est continue sur R+. Montrer que l’´equation ϕx(u) = 1
2, d’inconnueu, admet une solution et une seule dans R+.
On noteU :R+→Rl’application qui, `a tout r´eelx∈R+, associeU(x) l’unique solution de l’´equation ϕx(u) = 1
2. Ainsi, pour toutx∈R+, on a :
Z x+U(x) x−U(x)
f(t)dt=1 2. 5. (a) V´erifier, pour toutx∈
0,1
2
: U(x) = 1−x.
(b) Pour toutx∈ 1
2,+∞
, montrer : ϕx(x)≥1
2, puis :x−U(x)≥0, et en d´eduire : U(x) =p
4 + (x+ 1)2−2.
6. (a) Montrer que l’applicationU est continue sur [0,+∞[.
(b) Etudier la d´erivabilit´e deU sur [0,+∞[
(c) Montrer que la droite d’´equationy=x−1 est asymptote `a la courbe repr´esentative de U.
(d) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative deU. 7. On consid`ere la suite r´eelle (an)n∈N d´efinie para0= 1 et
∀n∈N, an+1=U(an).
(a) Montrer : ∀n∈N, an≥1 2 .
(b) Montrer que la suite (an)n∈Nest d´ecroissante.
(c) En d´eduire que la suite (an)n∈N converge et montrer que sa limite est ´egale `a 1 2 . (d) ´Ecrire un programme en Scilab qui calcule et affiche le plus petit entier n∈Ntel que :
an−1 2
≤10−6 4
