MPSI1 2012/2013 Devoir en temps limit´e n˚3 (3h) Vendredi 26 octobre
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
Les quatre exercices sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice 1. Dans cet exercice, seul les r´esultats sont pris en compte ! Cela ne dispense cependant pas d’une pr´esentation agr´eable et d’une r´edaction pr´ecise et concise.
1. Dans le planR2, on donne trois pointsA(1,0),B(−1,1) etC(−2,3).
(a) D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (AB).
(b) D´eterminer un syst`eme d’´equations param´etriques de la droite (AB).
(c) Calculer la distance de C`a la droite (AB).
(d) D´eterminer le projet´e orthogonalK deC sur (AB) et calculerk−−→
CK k 2. Dans l’espaceR3, on donne trois pointsM(1,0,1),N(1,1,0) etP(2,1,1).
(a) Justifier que ces trois points ne sont pas align´es.
(b) D´eterminer une ´equation cart´esienne du plan (M N P).
(c) D´eterminer la distance de Ω(1,0,0) au plan (M N P).
(d) D´eterminer le projet´e orthogonalH de Ω sur (M N P) et calculerk−−→
ΩH k.
(e) D´eterminer syst`eme d’´equations param´etriques de la droites (M N).
(f) Calculer la distance de P `a la droite (M N).
(g) D´eterminer le projet´e orthogonalK deP sur (M N) et calculerk−−→
P Kk
Exercice 2. D´esignons parEl’ensemble des triplets (x, y, z) de r´eels non nuls v´erifiantx+y+z= 0.
Dans un plan affine euclidien P, soientA,B etC des points non align´ees, et notonsO le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) (Rappelons que c’est le cercle passant par A,B etC).
Soit (x, y, z)∈E.
1. Montrer que chacun des ensembles de points pond´er´es{(B, y),(C, z)}, {(A, x),(C, z)} et {(A, x),(B, y)} poss`ede un barycentre.
Dans la suite, ces trois seront not´es respectivementI,J et K.
2. (a) Montrer qu’il existe un vecteur−→v non nul, tel que , pour tout pointM du planP, on ait : x·−−→
M A+y·−−→
M B+z·−−→
M C=−→v . (Exprimer−→v en fonction de −−→
AB et−→
AC.)
(b) Montrer que−→v n’est colin´eaire `a aucun des vecteurs−−→ AB,−→
AC et−−→ BC.
(c) Montrer que chacun des vecteurs−→ AI,−→
BJ et−−→
CK est non nul et colin´eaire `a −→v. 3. (a) Montrer que, pour tout pointM deP, on a : xk−−→
M Ak2+yk−−→
M B k2+zk−−→
M Ck2= 2−−→
M O| −→v . (b) En d´eduire que le lieu g´eom´etriques des points (i.e. l’ensemble des points)M deP v´erifiantxk−−→
M Ak2+yk−−→
M Bk2+ zk−−→
M Ck2= 0 est la droiteDpassant parO et orthogonale `a chacune des droites (AI), (BJ) et (CK) Dans la suite, on dira queDest la droite associ´ee au triplet :{(A, x),(B, y),(C, z)}.
(c) Application :Construire sur un dessin la droiteDassoci´ee `a :{(A,−1),(B,−1),(C,2)}.
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Exercice 3. Dans cet exercice, nous nous int´eressons `a la suite harmonique d´efinie par :
∀n∈N∗, Hn =
n
X
k=1
1 k. 1. D´emontrer que∀n∈N∗,
n
X
k=1
Hk= (n+ 1)Hn−n.
2. ´Etablir que∀n∈N∗,
n
X
k=1
(Hk)2= (n+ 1)(Hn)2−(2n+ 1)Hn+ 2n.
Exercice 4(La formule de Vandermonde de quatres fa¸cons diff´erentes).
Dans tout cet exercice,aet bsont deux entiers naturels non nuls etnun entier naturel,n6a+b. Siq > psont des entiers, on adopte la convention
p q
= 0.
A. M´ethode algorithmique.
On suppose, pour ces questions, que les seules op´erations machines utilisables sont l’addition et la multiplication.
(A.1) ´Ecrire, en langageMaple, une proc´edurebinom ;= proc(p,k)de variables des entiers naturelsk6pet qui donne la valeur du coefficient binomial
p k
.
(A.2) Supposant connue la proc´edurebinompr´ec´edente, ´ecrire une proc´edureV :=proc(a,b,n)de variables des entiers naturelsa>1,b>1 etn6a+bet qui donne la valeur de l’entier
n
X
k=0
a k
b n−k
. B. M´ethode ensembliste.
On consid`ere deux ensembles disjointsA etB finis non vides, et on notea= Card(A),b= Card(B).
On note enfinE=A∪B.
(B.1) Quel est le cardinal deE?
CombienE admet-il de sous-ensembles de cardinaln?
(B.2) Soitk∈[[0;n]]. CombienA admet-il de sous-ensembles de cardinal k?CombienB admet-il de sous-ensembles de cardinaln−k?
(B.3) En utilisant ce qui pr´ec`ede, d´eduire la valeur deV(a, b, n) =
n
X
k=0
a k
b n−k
.
On fera bien attention `a la rigueur du raisonnement. Un r´esultat juste est n´ecessaire, mais pas suffisant !
C. M´ethode polynomiale
(C.1) Si on consid`ere les fonctions polynomiales `a coefficients r´eels
P(x) =α0+α1x+α2x2+· · ·+αaxa etQ(x) =β0+β1x+β2x2+· · ·+βbxb, d´eterminer le coefficient dexn dans le produitP(x)Q(x).
(C.2) On d´efinit trois fonctions polynomiales P,Qet Rpar :
P(x) = (1 +x)a, Q(x) = (1 +x)b etR(x) =P(x)×Q(x).
On calculant de plusieurs fa¸cons les coefficients deR, en d´eduire la valeur deV(a, b, n) =
n
X
k=0
a k
b n−k
.
D. M´ethode probabiliste(partie moins importante, l’exigence de rigueur dans la r´edaction des d´emonstrations est moins grande aussi)
Une urne contient aboules blanches etb boules noires. On tire (sans remise) au hasard une poign´ee denboules.
(D.1) Quelle est la probabilit´epk que cette poign´ee contiennekboules blanches (pour kcompris entre 0 etn) ? (D.2) En utilisant le fait que la somme des probabilit´espk vaut 1, d´eterminer la valeur deV(a, b, n) =
n
X
k=0
a k
b n−k
.
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