Partie A Etude d’une fonction ´

MPSIA 2012/2013 Devoir surveill´e n˚17 pr´eparation du devoir du vendredi 22 f´evrier

Texte du DS du vendredi 9 mars 2012 (3h)

Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.

L’´enonc´e contient 2 pages, l’exercice et le probl`eme sont ind´ependants.

Exercice I

Soitfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEde dimension finie ´egale `an∈N^∗sur le corpsK(K=RouC).

1. D´eterminer le noyau et l’image de l’applicationϕ, d´efinie comme la restriction deg`a Im(f) (ϕest donc une application entre Im(f) etE).

2. Montrer que rg(f) = rg(g◦f) + dim_K(ker(g)∩ Im(f)).

3. En d´eduire que dim_K(ker(g◦f)))6dim_K(ker(g))) + dim_K(ker(f))).

4. D´emontrer que pour tout entier naturelk, dim_K

ker(f^k))

6k.dim_K(ker(f))) et rg(f^k)>k.rg(f)−n(k−1).

Exercice II

Soitnun entier naturel non nul fix´e pour la suite de l’exercice.

On noteC[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients complexes etCn[X] l’ensemble des polynˆomes deC[X] de degr´e inf´erieur ou

´egal `an. On confond polynˆome et fonction polynomiale et un polynˆome sera not´e indiff´eremmentP ouP(X). On note deg(P) le degr´e d’un polynˆomeP.

SoitT(X) un polynˆome fix´e deC[X] de degr´en.

On d´efinit l’applicationf qui `a tout polynˆomeP(X) deC[X] associeQ(X) +XR(X) o`uQetRsont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deP(X²) parT(X) ( on a doncP(X²) =Q(X)T(X) +R(X) avec deg(R)<deg(T)).

1. Montrer quefest une application lin´eaire.

2. SoitP un polynˆome non nul de degr´eptel que 2p < n. Montrer quef(P) est non nul.

3. SoitP∈C[X]. D´emontrer l’´equivalence entre les ´enonc´es : (i) P ∈ker(f) ;

(ii) il existeR∈C[X] tel que deg(R)< netP(X²) =R(X) (1−XT(X)).

En d´eduire que siP∈ker(f), alorsP ∈Cⁿ[X].

4. D´emontrer que pour toutP∈ker(f) et pour toutk∈N, si deg(P) +k6nalors X^kP(X)∈ker(f).

5. On suppose maintenant que ker(f) n’est pas r´eduit au polynˆome nul et on noteIl’ensemble des entiers naturelsktel qu’il existe un polynˆome de ker(f) de degr´ek.

(a) Montrer queIposs`ede un plus petit ´el´ementd.

(b) Soit (P0, P1)∈ker(f)² tel que deg(P0) =d= deg(P1).

D´emontrer qu’il existec∈Ctel queP1 =c.P0.

(c) Montrer qu’un polynˆomeP appartient `a ker(f) si et seulement s’il existe un polynˆomeS de degr´e inf´erieur ou ´egal `an−d tel queP(X) =S(X)P0(X).

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Probl` eme III

On rappelle les valeurs approch´ees suivantes :

e= exp(1)≈2,72; 1

√e ≈0,61;√

2≈1,41 et ln(3)≈1,10.

Partie A Etude d’une fonction ´

Soitfla fonctionR→R,x7→f(x) = 3xexp(−x²)−1 = 3xe^−x2−1.

1. ´Etudier les variations def surR, ainsi que les limites aux bornes du domaine de d´efinition. Donner le tableau des variations de f. Pr´eciser les branches infinies de la courbe repr´esentativesCf def.

2. Calculer quand cela est possiblef⁰⁰(x). Qu’en d´eduit-on pour le point deCf d’abscisse 0 ?

3. Donner l’´equation de la tangente au point d’abscisse 0. ´Etudier la position de la courbe par rapport `a la tangente au point d’abscisse 0. Quel r´esultat retrouve-t-on ?

4. Donner l’allure de la courbeCf def.

5. (a) Pourquoif admet-elle des d´eveloppements limit´es en 0 `a n’importe quel ordre ? (b) Donner le d´eveloppement limit´e def au voisinage de 0 `a l’ordre 5.

Partie B Etude d’une ´ ´ equation diff´ erentielle : hors bar` eme

Soitn∈N^∗. SoitEnl’´equation diff´erentiellexy⁰−(n−2x²)y=n−2x². SoitHnl’´equation homog`ene (dite aussi sans second membre) associ´ee `aEn.

1. R´esoudreHnsur ]0,+∞[ et sur ]− ∞,0[.

2. En d´eduire les solutions deEn sur ]0,+∞[ et sur ]− ∞,0[.

3. Donner toutes les fonctionsf d´efinies, de classeC¹ surRet solutions deEnsurR. On distinguera les casn= 1 etn>2.

Partie C Etude de deux suites ´

On suppose d´esormais dans toute la suite du probl`eme que l’entier naturelnest sup´erieur ou ´egal `a 2.

Soitfn:x7→fn(x) = 3xⁿe^−x2−1 = 3xⁿexp−x²−1.

1. Quel est le signe defn(0), defn(1) ?

2. ´Etudier les variations defnsur l’intervalle [0,+∞[. Donner la limite defn(x) quandxtend vers +∞.

En d´eduire quefn s’annule deux fois sur [0,+∞[ en deux r´eels not´esunetvn, qui v´erifientun<1< vn. 3. Quelle est la limite de la suite (vn)_n∈>2?

[hors bar`eme]D´eterminer un ´equivalent devnquandntend vers +∞.

4. (a) Calculer exp−u²n=e^−un2 en fonction deunn

. (b) En d´eduire le signe defn+1(un).

(c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede la convergence de la suite (un)<sub>n∈>2</sub>. On note`sa limite.

5. Quelle est la limite de la suite (vn)_n∈>2?

6. Soitgnd´efinie sur ]0,+∞[ pargn(x) = ln 3 +nlnx−x².

(a) Soitt >0. Montrer quegn(t) = 0 si et seulement sifn(t) = 0.

(b) On suppose`6= 1. Trouver une contradiction en utilisant ce qui pr´ec`ede.

Conclusion ?

(c) Soit la suite (wn)_n∈>2d´efinie par :∀n>2,wn=un−1.

En utilisant un d´eveloppement limit´e degn(1 +wn) =g(un), trouver un ´equivalent simple dewn.