On suppose que la probabilit´e qu’une greffe donn´ee prenne est constante, ´egale `a p∈]0,1[

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A - 0509

MATH´EMATIQUES EPREUVE B´ Dur´ee : 3 heures 30 minutes

L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette ´epreuve. Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Le probl`eme se compose de trois parties largement ind´ependantes.

L’objet du probl`eme est l’´etude et la mod´elisation d’un proc´ed´e ultra-rapide de greffes de rosiers.

Lorsqu’une greffe est op´er´ee, on sait au bout d’une semaine si elle a pris ou non. On suppose que la probabilit´e qu’une greffe donn´ee prenne est constante, ´egale `a p∈]0,1[. On notera q = (1−p).

On veut greffer Rrosiers o`uRest un entier sup´erieur ou ´egal `a 1. Pour chacun d’entre eux, on op`ere une greffe. Chaque semaine, si la greffe ne prend pas, on recommence jusqu’`a ce qu’elle prenne effectivement.

On suppose que toutes ces exp´eriences sont mutuellement ind´ependantes.

Pour tous entiers netptels que 06p6n, le coefficient^hhpparminⁱⁱest not´e µn

p

¶

et vaut : n!

p!(n−p)! . PARTIE I

I.1 On appelleGle nombre de greffes n´ecessaires `a la prise de la greffe d’un rosier donn´e.

D´eterminer la loi deG, son esp´erance et sa variance.

I.2On greffe simultan´ement lesR rosiers, qui seront num´erot´es de 1 `aR. On d´esigne parX<sub>k</sub> la variable al´eatoire ´egale au nombre de greffes n´ecessaires `a la prise de la greffe du rosierk, 16k6R, et parX le nombre total de greffes n´ecessaires pour que les greffes prennent sur lesRrosiers. Les variables al´eatoires X_k sont ´evidemment ind´ependantes.

a) Quelle est la loi de la variable al´eatoireX_k pour 16k6R? b) ExprimerX en fonction des X_k, 16k6R.

c) Calculer l’esp´erance et la variance deX.

I.3 On se propose de chercher la loi deX.

a) D´eterminer l’ensembleI des valeurs prises par X.

b) Soitn∈I.

i) Soit (x₁, . . . , x_R) unR-uplet de (N^∗)^Rtel quex₁+· · ·+x_R=n.

Exprimer P(X₁=x₁;. . .;X_R=x_R) en fonction dep,q,n etR.

ii) On note (E) l’´equationx₁+· · ·+x_R=netα(R, n) le nombre deR-uplets (x₁, . . . , x_R) de (N^∗)^R solutions de (E). A l’aide du r´esultat de la question pr´ec´edente, montrer que

P(X=n) =α(R, n)p^Rq^n−R

1/4 T.S.V.P.

I.4 On consid`ere le segment S = [0, n] gradu´e d’unit´e en unit´e de 0 `an. On partageS en R segments, non r´eduits `a un point, dont les extr´emit´es sont sur les graduations.

a) Montrer qu’il existe une bijection entre l’ensemble des solutions de (E) et l’ensemble des partages deS ainsi d´efinis (On pourra s’aider d’un dessin).

b) Montrer qu’on obtient un tel partage deS en choisissantR−1 points distincts de la graduation d’abscisses comprises entre 1 etn−1.

c) En d´eduireα(R, n). Donner la loi de probabilit´e deX.

PARTIE II

On se propose d’´etudier le nombreY de semaines n´ecessaires `a la prise des greffes sur les R rosiers.

Pour chaque rosier, le nombre de semaines n´ecessaires est ´egal au nombre de greffes n´ecessaires.

DoncY = max{X₁, . . . , X_R}, les variables X_k ayant ´et´e d´efinies dans la partie I.

II.1 Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 1.

a) Montrer que P(Y 6n) = (1−qⁿ)^R. b) En d´eduireP(Y =n).

II.2 Soit Z une variable al´eatoire `a valeurs dans N.

Dans cette question, pourn∈N, on noteu_n=P(Z =n) et v_n=P(Z > n).

Soit N un entier naturel non nul.

a) Pour tout entier naturelnnon nul, exprimer u_n en fonction dev_n−1 et v_n. b) En d´eduire que

XN n=1

nu_n=

N−1X

n=0

v_n−N v_N. En d´eduire que, si la s´erieP

v_n converge, alors la s´erie P

nu_n converge.

c) Exprimerv_N `a l’aide d’un reste de la s´erie de terme g´en´eralu_n. Montrer que, si la s´erieP

nu_n converge, alors N v_N 6

+∞X

n=N+1

nu_n En d´eduire que la suite (N v_N) converge et d´eterminer sa limite.

d) En d´eduire queZ poss`ede une esp´erance si et seulement si la s´erie P

v_nconverge et que, dans ce cas,E(Z) =

X+∞

n=0

v_n.

2/4

Pour la suite de cette partie, on pose, pour tout n∈N, v_n= 1−(1−qⁿ)^R. II.3 a) Donner un ´equivalent de v_n quandntend vers +∞.

b) En d´eduire queE(Y) existe et que E(Y) =^+∞P

n=0

v_n. c) CalculerE(Y) pourR= 2.

Dans les questions II.4, II.5 et II.6, on cherche `a d´eterminer un ´equivalent de E(Y) lorsque R tend vers l’infini.

II.4 On consid`ere la fonction f d´efinie par : pour tout x∈[0,+∞[,f(x) = 1−(1−q^x)^R. a) Montrer que f est d´ecroissante sur [0,+∞[.

b) Donner un ´equivalent de f(x)−Rq^x lorsquex tend +∞.

c) En d´eduire qu’il existe un r´eelA strictement positif tel que, pour x > A, f(x) 6Rq^x; puis que l’int´egrale

Z _+∞

0

f(x)dxest convergente.

d) Montrer que, pour toutx∈[0,+∞[,f(x) =

R−1X

k=0

q^x(1−q^x)^k.

En d´eduire Z _+∞

0

f(x)dx=− 1 lnq

R−1X

k=0

1 k+ 1. II.5 On veut obtenir un encadrement de E(Y).

a) Soitnun entier naturel. Montrer que, pour tout x∈[n, n+ 1],v_n+16f(x)6v_n. b) En d´eduire que, pour tout N ∈N^∗,

Z _N+1

0

f(x)dx6 XN n=0

v_n6 Z _N

0

f(x)dx+ 1.

c) En d´eduire que− 1 lnq

XR k=1

1

k 6E(Y)6− 1 lnq

XR k=1

1 k + 1

II.6 a) Montrer que Z _R+1

1

dx x 6

XR k=1

1 k 61 +

Z _R

1

dx x . b) En d´eduire queE(Y)∼ −lnR

lnq quand R tend vers l’infini.

3/4 T.S.V.P.

PARTIE III

Dans cette partie, on ´etudie l’´evolution du processus sur plusieurs semaines. Pour cela, on consid`ere la suite de variables al´eatoires (Y<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub> telle que Y<sub>0</sub> ´egale 0 et pour tout entier n >1, Y<sub>n</sub> est le nombre de rosiers dont la greffe a pris `a l’issue de la n-i`eme semaine.

On consid`ere la suite (Z_n)_n∈N d´efinie pourn∈NparZ_n=Y_n+1−Y_n, III.1 Que repr´esenteZ_n?

III.2 D´eterminer la loi deY₁; donner son esp´erance et sa variance.

III.3 a) Montrer que, pour toutl∈N,P(Y_n+1=l) = Xl m=0

P(Z_n=l−m|Y_n=m)P(Y_n=m) (∗).

b) D´eterminer la loi conditionnelle deZ_n sachantY_n=m et v´erifier qu’elle ne d´epend pas den.

III.4 a) En d´eduire que, pour toutl∈Ntel quel6R, P(Y₂=l) =

Xl m=0

µR−m l−m

¶

p^l−mq^R−l µR

m

¶

p^mq^R−m.

b) V´erifier que, pour tout (l, m)∈N² tels que 06m6l6R, µR

m

¶µR−m l−m

¶

= µR

l

¶µl m

¶ .

c) En d´eduire queP(Y₂=l) = µR

l

¶ p^l¡

q²¢_R−lX^l

m=0

µl m

¶ q^l−m.

d) Montrer queP(Y₂ =l) = µR

l

¶¡

p(1 +q)¢_l¡ q²¢_R−l

et en d´eduire queY₂ suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres en fonction deR et de q.

III.5 En utilisant la relation (∗), montrer par r´ecurrence que pour tout n ∈N,Y_n suit la loi binomiale de param`etres R et 1−qⁿ.

III.6 Pour toutk, tel que 06k6R, d´eterminer lim

n→+∞P(Y_n=k).

FIN DE L’´EPREUVE

4/4