Probl` eme Cœur et Nilespace d’un endomorphisme

MPSIA 2012/2013

Devoir en temps limit´e n˚6

vendredi 18 janvier 2013

Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.

Les trois exercices et le probl`eme sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.

Exercice 1. Soit (a, b, c, d) ∈ N⁴. Montrer que le polynˆome P(X) = X^4a+3+X^4b+2+X^4c+1+X^4d est divisible par le polynˆomeQ(X) =X³+X²+X+ 1 dansR[X].

Exercice 2 (d’apr`es E3A PSI 2007). Soit nun entier naturel, n>2 et soient a1, a2, . . . , an des ´el´ements de Cnon tous nuls etP le polynˆome de C[X] d´efini parP=Xⁿ+a1Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1X+an.

On d´esigne parzune racine dansCdeP.

SoitQle polynˆome deR[X] d´efini parQ=Xⁿ− |a1|Xⁿ⁻¹− · · · − |a_n−1|X− |an|.

1. Soitg l’application de ]0,+∞[ versR, t7→g(t) = 1−^|a_t^1|− · · · −^|a_tn−1^n−1|−^|a_tn^n|. (a) Montrer queg est strictement croissante sur ]0,+∞[.

(b) Prouver queQadmet une unique racine dans ]0,+∞[ ; elle sera not´eex0.

2. Soitα´el´ement de ]0,+∞[ tel que Q(α)>0. ´Etudier le signe de Q(|z|). En d´eduire que|z|6x₀6α.

3. En appliquant le r´esultat de la question pr´ec´edente pour une valeur deαjudicieusement choisie, d´emontrer que

|z|<1 + max

16k6n|ak|.

Exercice 3. SoitP(X) =X²−2X+ 2 etQ(X) =X⁵+αX+β o`u α, β∈R. 1. D´eterminer αet β pour queP diviseQ.

2. D´ecomposer alorsQdansR[X].

Probl` eme Cœur et Nilespace d’un endomorphisme

SoitE unR-espace vectoriel etf un endomorphisme deE. On note IdE l’endomorphisme identit´e deE.

On rappelle qu’un sous-espace vectoriel V de E est dit stable par f lorsque pour tout vecteur x∈ V, on a f(x) ∈ V. Lorsque le sous-espace vectorielV est stable parf, on peut consid´erer sa restrictionf_|V :V →V. Il est alors ´evident que f_|V ∈ L(V).

On d´efinit par r´ecurrence la suite d’endomorphismes (fⁿ)_n∈N ainsi :

f⁰= Id_E et pour toutn∈N, fⁿ⁺¹=f◦fⁿ. Pour tout entiern∈N, on noteF_n= Im(fⁿ) etG_n = ker(fⁿ).

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MPSIA 2012/2013

Devoir en temps limit´e n˚6

vendredi 18 janvier 2013

Partie A Propri´ et´ es g´ en´ erales

1. (a) Pr´eciserF0 et G0.

(b) Justifier, sans calcul, que pour toutn∈N,Fn etGn sont des sous-espaces vectoriels de E.

(c) Montrer que que la suite (Fn)_n∈

Nest d´ecroissante pour l’inclusion.

(d) Montrer que que la suite (Gn)_n∈

Nest croissante pour l’inclusion.

2. On poseF = \

n∈N

Fn={x∈E| ∀n∈N, x∈Fn} etG= S

n∈N

Gn ={x∈E| ∃n∈N, x∈Gn}.

(a) D´emontrer que F est un sous-espace vectoriel deE.

(b) D´emontrer que F est stable par f.

(c) D´emontrer que Gest un sous-espace vectoriel deE.

(d) D´emontrer que Gest stable parf.

(e) D´eterminer F et Gdans le cas o`uf est un automorphisme deE.

Partie B Etude d’exemples ´

Pour cette question, on prend E=R[X] munit de sa structure canonique deR-espace vectoriel.

1. Si on prendf :P 7→P⁰, justifier quef ∈ L(E) et d´eterminerF etG.

2. Si on prendf :P 7→XP, justifier que f ∈ L(E) et d´eterminerF et G.

Partie C Des r´ esultats techniques

1. Dans cette question, on suppose qu’il existen∈Ntel queFn+1=Fn. (a) D´emontrer que pour toutp∈N,Fn+p=Fn.

(b) Justifier l’existence d’un plus petit entiers∈Ntel queFs+1=Fs. (c) D´emontrer que F =Fs.

(d) D´emontrer que E=F+Gs.

2. Dans cette question, on suppose qu’il existen∈Ntel queGn+1=Gn. (a) D´emontrer que pour toutp∈N,Gn+p=Gn.

(b) Justifier l’existence d’un plus petit entierr∈Ntel queG_r+1=G_r. (c) D´emontrer que G=G_r.

(d) D´emontrer que F_r∩G={ 0_E}.

3. (a) On suppose qu’il existe un entiern∈Ntel queF_n=F_n+1 etG_n+1 =G_n+2. Montrer queGn=Gn+1.

(b) On suppose qu’il existe un entiern∈Ntel queGn=Gn+1 et Fn+1=Fn+2. Montrer queF_n=F_n+1.

Partie D D´ ecomposition A+N

On suppose que l’endomorphismef estde caract`ere fini, c’est-`a-dire qu’il existe un entiern∈Ntel queFn+1=Fn et un entierp∈Ntel que Gp=Gp+1. On note alorssetrles entiers d´efinies aux questions 1b et 2b de la partie Partie C.

1. Montrer quer=s.

2. ´Etablir queF et Gsont suppl´ementaires dansE.

3. D´emontrer que la restriction def `aF est un automorphisme deF.

4. D´emontrer que la restriction def `a G est nilpotente (on rappelle qu’un endomorphisme u∈ L(V) est nilpotent s’il existe q∈Ntel queu^q = 0_L(V)).

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