On pose, pour toutn∈N,Sn= n X k=0 (−1)k k

MPSIA 2012/2013

Devoir en temps libre n˚10

Pr´eparation du DS5 du vendredi 14 d´ecembre 2012

Ceci est le texte du devoir surveill´e n˚6 (3h) du 16 d´ecembre 2011

Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.

L’´enonc´e contient 1 page, les trois exercices sont ind´ependants.

Exercice 1. On pose, pour toutn∈N,Sn=

n

X

k=0

(−1)^k k! .

1. En ´etudiant les suites extraites paires et impaires, montrer que la suite (Sn)n∈N converge vers un r´eel`∈]0,¹₂[.

2. ´Ecrire une proc´edure (en utilisant comme langage Maple) qui prend comme variable un r´eel esp>0 et qui retourne une valeur approch´ee de``a esppr`es.

On expliquera la convergence de l’algorithme et analysera sa vitesse de convergence. 3. On s’int´eresse maintenant `a une suite (v_n)_n∈Nd´efinie r´ecursivement par :

v0, v1∈R;

∀n∈N^∗, vn+1= (1−_n¹)vn+¹_n v_n−1. En se servant de la suite (vn+1−vn)_n∈N, d´emontrer que la suite (vn)_n∈Nconverge et d´eterminer sa limite.

Exercice 2.

On consid`ere la suite (un)n, d´efinie par r´ecurrence par : ( u0∈R^∗+;

un+1 = u_n

1 +nu²_n , ∀n∈N. 1. Montrer que (u_n)_n∈

Nconverge et d´eterminer sa limite.

2. Dans le cas o`u u0 = 1 , calculer un en fonction de n.

3. On revient au cas g´en´eral. Montrer que, pour toutn∈N,n>2, on a :u_n 6 1 n . 4. Prouver que, pour toutn∈N, n>2 : 1

u_n+1 − 1 u_n 61.

5. Montrer queun ∼

n→+∞

1 n.

Exercice 3. Soient (an)_n∈N, (bn)_n∈N deux suites `a valeurs r´eelles positives.

On d´efinit alors les suites r´eelles (un)_n∈N, (vn)_n∈N par : u0=√

a0, u1= q

a0+√

a1, u2= r

a0+ q

a1+√

a2, . . . , un= r

a0+ q

a1+· · ·+√ an

v0=p

b0, v1= q

b0+p

b1, v2= r

b0+ q

b1+p

b2, . . . , vn= r

b0+ q

b1+· · ·+p bn

( L’´ecriture des termes g´en´eraux u_n et v_n contient donc n+ 1 radicaux ).

1. Montrer que la suite (un)n∈N est croissante.

2. Cas o`u an= 1 , pour tout n∈N.

Montrer que, pour toutn∈N, on a la relation de r´ecurrence : un+1=√ 1 +un.

En d´eduire que la suite (un)n∈N converge dansRvers une limite, not´ee L, que l’on calculera.

3. Cas o`u a_n= 2²ⁿ⁺¹ , pour toutn∈N. Montrer que la suite (u_n)_n∈N converge dansRvers 2L.

4. Cas o`u pour toutn∈N, an6bn . Montrer que, pour toutn∈N, on a : un 6vn.

5. Cas o`u pour toutn∈N, an=n et bn=n! . Montrer que, pour toutn∈N, on a : n6n!62²ⁿ⁺¹. En d´eduire la convergence des suites (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N.

6. Montrer que, pour toutn∈N, on a : (an)^1/(2n+1)6un. En d´eduire un exemple de suite (an)n∈N telle que : lim

n−→+∞un= +∞.

1