MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚7
vendredi 8 f´evrier 2013
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
Les deux exercices et le probl`eme sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice 1.
On consid`ere une fonctionf appartenant `aC0([0,1],R). On suppose quef(0) = 0 etf(1) = 1.1. Montrer qu’il existec∈]0,1[ tel quef(c) =1 2.
2. Soitnun entier,n >2. Montrer qu’il existe des nombres r´eelsx1,· · ·, xn−1 appartenant tous `a [0,1] tels que 0< x1<· · ·< xn−1<1 etf(xk) =k
n pour toutk∈[[1, n−1]].
Exercice 2.
Soienta < bdes r´eels et`∈R.Soitf et gdeux fonctions d´efinies et d´erivables sur ]a, b[,g etg0 ne s’annulant pas sur ]a, b[.
1. On suppose dans cette question quef etg sont aussi d´efinies ena, quef(a) = 0 =g(a) et queg0(a)6= 0.
Montrer que dans ce cas, lim
x→a+
f(x)
g(x) =f0(a) g0(a). 2. Soitx∈]a, b].
(a) On suppose dans cette question quef etg sont continues sur [a, b].
A l’aide de la fonction auxiliaire` ϕ:t7→(f(x)−f(a))(g(t)−g(a))−(g(x)−g(a))(f(t)−f(a)), d´emontrer qu’il existe un r´eel c∈]a, x[ tel que f(x)−f(a)
g(x)−g(a) =f0(c) g0(c).
(b) D´emontrer le mˆeme r´esultat dans le cas o`uf etg admettent une limite finie en a.
3. On suppose dans cette question que lim
x→a+f(x) = 0 = lim
x→a+g(x). Montrer que si lim
x→a+
f0(x)
g0(x) =`, alors lim
x→a+
f(x) g(x) =`.
4. On suppose dans cette question que lim
x→a+g(x) = +∞. Montrer que si lim
x→a+
f0(x)
g0(x) =`, alors lim
x→a+
f(x) g(x) =`.
5. Les r´esultats des deux questions pr´ec´edentes sont-ils encore valides pour`∈R (on ne demande pas de preuve mais une justification rapide)?
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Devoir en temps limit´e n˚7
vendredi 8 f´evrier 2013
Probl` eme 3 Approximation uniforme des fonctions continues par des polynˆ omes
On noteI= [0,1],E=C0(I,R) l’espace vectoriel des fonctions continues `a valeur dansR.
D´efinition 1. Une subdivision deI= [0,1]est une famille σ= (ai)06i6m de points deI, avec m∈N∗, telle quea0= 0,am= 1et pour touti∈[[ 0, m−1]],ai< ai+1.
On d´efinit alors le pas de la subdivisionσ :ρ(σ) = max
06i6m−1(ai+1−ai).
On noteS l’ensemble des subdivision deI.
D´efinition 2. Une fonction ϕ de I dans R est affine par morceaux s’il existe une subdivision σ = (ai)06i6m de I telle que pour tout i ∈ [[ 0, m−1]] la restriction ϕ|[ai,ai+1] est une fonction affine (i.e. il existe des r´eels αi et βi tels que ϕ|[ai,ai+1] :x7→αix+βi).
On noteAl’ensemble des fonctions de E(donc continues sur [0,1]) affine par morceaux.
Dans la situation de la d´efinition 2, on dit que les fonctionsϕet la subdivisionσsont compatibles.
On note enfin, si f ∈E, k f k= sup
t∈I
(|f(t)|). Le but de l’exercice est de montrer que pour tout f ∈E et tout ε >0, il existeP ∈R[X] tel que kf −P k< ε.
1. Sif ∈E, justifier l’existence de la borne sup´erieurekf k. Que sait-on de plus sur cette borne sup´erieure ? 2. Soientσ= (ai)06i6m∈S et (bi)06i6mune famille de r´eels.
Montrer qu’il existeϕ∈A, unique, compatible avecσet telle que pour touti∈[[0, m−1]],ϕ(ai) =bi.
3. Soient ϕ∈A etσ= (ai)06i6m∈S compatible avec ϕ. On veut montrer qu’il existe une famille de r´eels et une seule (λi)06i6m telle que pour toutt∈I,ϕ(t) =
m
X
i=0
λi|t−ai|.
Faire la preuve dans le casm= 2 (on pourra penser `a ´etablir un syst`eme d’´equations lin´eaires dont lesλi sont solutions). On admettra cette question pourm >2.
4. En utilisant la continuit´e uniforme def, dont on rappellera la d´efinition et que l’on justifiera, montrer que :
pour toutε >0, il existeη >0 tel que : siρ(σ)6η etϕ(ai) =f(ai) pour touti∈[[0, m]], alorskf−ϕk6ε(c’est-`a-dire que pour toutt∈I,|f(t)−ϕ(t)|6ε).
5. On d´efinit par r´ecurrence une suite (un)n∈Nde fonctions deIdansRparu0= 0(i.e. la fonction constante en 0)et pour tout natureln, et pour toutt∈I,un+1(t) =un(t) +12
t−un(t)2 . (a) Montrer que pour toutn∈N,un est une fonction polynomiale.
(b) Montrer que pour toutn∈Net pour toutt∈I, 06un(t)6un+1(t)6√ t.
(On pourra justifier et utiliser la relationun+1(t)−√
t= [un(t)−√
t]×[1−12(un(t) +√ t)].) 6. Soitc∈]0,1[.
(a) Montrer que pour toutn∈Net pour toutt∈[c,1],
un+1(t)−√ t un(t)−√
t 61−
√c 2 . (b) En d´eduire que pour toutn∈Net pour toutt∈[c,1],
un(t)−√ t
6
1−
√c 2
n . 7. Soitε >0. Montrer qu’il existen0∈Ntel que pour toutn>n0et pour toutt∈I, 06√
t−un(t)6ε.
(On consid´erera deux cas suivant que 06t6cou bien quec6t61.)
8. (a) Montrer que pour toutε <0, il existe un polynˆomeP ∈R[X] tel que pour toutt∈[−1,1],|P(t)− |t||6ε.
(On pourra consid´ererun(t2).) (b) Soita∈I.
Montrer que pour toutε >0, il existe un polynˆomePa ∈R[X) tel que pour toutt∈I,|Pa(t)− |t−a||6ε.
9. D´eduire de cette ´etude que pour toutε >0, il existeP∈R[X] tel quekf−P k6ε.
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