MPSIA 2012/2013
Devoir en temps limit´e n˚8
vendredi 22 f´evrier 2013
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar`eme de correction.
Les trois exercices sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice 1 (un peu de calcul).
1. D´eterminer le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3 de la fonction f :x7→e
√1+x−cos(x). 2. (a) D´eterminer un ´equivalent simple en π
4 deh:x7→ln(sin(2x)) (b) D´eterminer le d´eveloppement limit´e en π
4 `a l’ordre 4 de la fonction g:x7→tan(x) ln(sin(2x)).
Exercice 2 (D´ eveloppement asymptotique d’une suite).
Dans tout l’exercice,nd´esigne un nombre entier naturel non nul.
1. Calculer, pour tout r´eelxnon nul, la valeur de arctan(x) + arctan(1 x).
2. Montrer que dans l’intervallei nπ−π
2, nπ+π 2 h
, l’´equation (E) : tan(x)− x2
1 +x = 0 admet une unique solution.
On notexn cette solution.
3. D´eterminer lim
n→+∞xn et donner un ´equivalent simple dexn lorsquentend vers +∞.
4. On poseyn=xn−nπ.
Exprimeryn `a l’aide de la fonction arctan et d´eterminer lim
n→+∞yn. 5. D´eterminer un ´equivalent simple de yn−π
2 lorsquentend vers +∞.
6. En d´eduire un d´eveloppement asymptotique dexn(suivant les puissances enti`eres relatives de 1
n) comportant 3 termes.
7. En d´eduire un d´eveloppement asymptotique de 1
xn et de 1
xn2 (suivant les puissances enti`eres naturelles de 1 n), com- portant respectivement 3 et 2 termes.
8. En d´eduire un d´eveloppement asymptotique dexn(suivant les puissances enti`eres relatives de 1
n) comportant 5 termes.
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Devoir en temps limit´e n˚8
vendredi 22 f´evrier 2013
Exercice 3.
SoitE unC-espace vectoriel de dimension finien >2.
Pour tout endomorphismef ∈ L(E), on d´efinit le commutant def comme l’ensembleC(f) ={g∈ L(E)|g◦f =f◦g}.
1. Questions de cours : on ne demande pas de d´emonstrations, mais on sera attentif `a la pr´ecision des r´eponses.
(a) Rappeler les structures d’anneau et deC-espace vectoriel deL(E).
(b) LeC-espace vectorielL(E) est-il de dimension finie ? Si oui, en donner la dimension.
2. Soitf ∈ L(E).
(a) D´emontrer que C(f) est un sous-anneau deL(E).
(b) D´emontrer que C(f) est un sous-ev deL(E).
(c) Justifier que la dimension deC(f) n’est pas 0.
(d) D´emontrer que pour toutg∈C(f) et pour toutλ∈C, on a
g(ker(f −λ· IdE))⊂ker(f−λ· IdE).
(e) On prend dans cette question E=C2 et on d´efinit les applicationsf, g deE dans E parg(x, y) = (x, x+y) et f(x, y) = (x,0).
i. V´erifier quef ∈ L(E). On l’admettra pourg.
ii. D´eterminer les valeurs de λpour lesquelles ker(f−λ· IdE)6={0E}.
iii. Pourλ= 0, v´erifier que l’on ag(ker(f −λ· IdE)⊂ker(f −λ· IdE).
iv. D´emontrer que g /∈C(f).
3. On suppose dans cette question quef est une homoth´etie. D´eterminerC(f).
4. Soitsune sym´etrie vectorielle de E.
(a) D´emontrer que E= ker(s− IdE)⊕ker(s+ IdE).
(b) En d´eduire une relation entre les dimensions de ces espaces.
(c) D´emontrer, pour tout g∈ L(E), l’´equivalence entre les ´enonc´es : (i) g∈C(s) ;
(ii) g(ker(s− IdE))⊂ker(s− IdE) etg(ker(s+ IdE))⊂ker(s+ IdE).
(d) D´efinir, en utilisant la question pr´ec´edente, un isomorphisme entreC(s) et L(ker(s− IdE))× L(ker(s+ IdE)).
En d´eduire dimC(C(s)) en fonction de dimC(ker(s− IdE)) et de dimC(ker(s+ IdE)).
(e) En d´eduire que sis6= IdE ets6=−IdE, alors il existe un endomorphisme deE qui ne commute pas avecs.
5. D´emontrer que les endomorphismes qui commutent avec toutes les sym´etries vectorielles de Esont les homoth´eties.
On pourra se fixerxet d´efinir une sym´etriespar rapport `a Vect(x)et tirer les cons´equences sur l’image dexde la commutativit´e avec s.
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