DS 2

Math´ ematiques Devoir surveill´ e n

2

Octobre 2018

Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel

´

electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.

Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.

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Exercice 1

Soit la matriceK=





0 0 1 0 1 0 1 0 0



.

On noteE l’ensemble des matricesM deM₃(R) v´erifiant :M K=KM =M. 1. (a) Montrer queE est un espace vectoriel.

(b) Montrer par l’absurde qu’aucune matrice deE n’est inversible.

2. SoitM =





a b c d e f g h k



une matrice deE.

(a) Montrer quek=g=c=a,h=b etf =d, puis en d´eduire la forme des matrices deE.

(b) D´eterminer une base deE et v´erifier que dim(E) = 4.

3. On consid`ere l’ensembleF des matrices de la forme M =





x y x y z y x y x



o`ux,y etz sont des r´eels.

V´erifier queF est un sous-espace vectoriel deE et donner une base deF.

4. On noteϕl’application deF dansRqui `a toute matriceAdeF associe le nombre :

3

X

i=1 3

X

j=1

(−1)^i+jai,j,

o`ua<sub>i,j</sub> d´esigne l’´el´ement de la matriceAsitu´e `a l’intersection de lai^{`eme</sup> ligne et de laj<sup>i`eme} colonne.

(a) Montrer queϕest une application lin´eaire deF dansR. (b) D´eterminer Im(ϕ).

(c) `A l’aide du th´eor`eme du rang : dim(F) = dim(Im(ϕ)) + dim(Ker(ϕ)), en d´eduire la dimension de Ker(ϕ).

(d) SoitM =





x y x y z y x y x



une matrice de Kerϕ. Exprimerϕ(M) en fonction dex,yetzet en d´eduire une base de Kerϕ.

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Exercice 2

On consid`ere l’espaceM<sub>2</sub>(R) des matrices d’ordre 2 `a coefficients r´eels. On d´efinit : A=

1 0 0 0

, B= 0 1

0 0

, C= 0 0

0 1

, T = 1 1

0 1

E =

a b 0 c

,(a, b, c)∈R³

1. Montrer queE est un espace vectoriel et que (A, B, C) est une base deE.

2. Etablir queE est stable par multiplication, c’est `a dire :

∀(M, N)∈E², M N∈E

3. Montrer que, pour toute matriceM deE, si M est inversible alorsM⁻¹∈E.

Pour toute matrice deE, on note

f(M) =T M T.

4. Montrer quef est un endomorphisme deE.

5. V´erifier queT est inversible et d´emontrer que f est un automorphisme deE.

On noteF la matrice def dans la base (A, B, C) deE.

6. Calculerf(A), f(B), f(C) en fonction de (A, B, C) et en d´eduireF. On note

I=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



 et H =





0 0 0 1 0 1 0 0 0



.

7. CalculerH², puis pour tout adeRet toutndeN, (I+aH)ⁿ. 8. Calculer, pour toutndeN,Fⁿ.

9. Trouver une matriceGdeM3(R) telle queG³=F. Existe-t-il un endomorphismeg deE tel que g◦g◦g=f?

Exercice 3

On d´esigne parEl’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 et on noteBla base (e<sub>0</sub>, e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>) deE,o`u pour tout r´eel x,on a :e₀(x) = 1, e₁(x) =xete₂(x) =x².

On consid`ere l’application, not´eef,qui `a toute fonction polynomialeP appartenant `aE,associe la fonction polynomiale f(P) d´efinie par :

∀x∈R, (f(P)) (x) = 2xP(x)− x²−1 P⁰(x). 1. (a) Montrer quef est une application lin´eaire.

(b) En ´ecrivant, pour tout r´eel x, P(x) =a+bx+cx², d´efinir explicitement (f(P))(x) puis en d´eduire quef est un endomorphisme deE.

(c) Ecriref(e0), f(e1) etf(e2) comme des combinaisons lin´eaires dee0, e1et e2,puis en d´eduire la matriceAde f dans la baseB.

2. (a) V´erifier que Im(f) = Vect (e1, e0+e2) et donner la dimension de Im(f).

(b) D´eterminer Ker(f).

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Exercice 4

On consid`ere, pour toutn∈N^∗, la fonction polynomialeP_n: [0,+∞[−→Rd´efinie pour toutx∈[0,+∞[, par : P_n(x) =

2n

X

k=1

(−1)^kx^k

k =−x+x²

2 +. . .+−x²ⁿ⁻¹ 2n−1 +x²ⁿ

2n.

I. ´ Etude des fonctions polynomiales P

1. Montrer, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ : P_n⁰(x) = x²ⁿ−1

x+ 1 o`uP_n⁰ d´esigne la d´eriv´ee de Pn.

2. ´Etablir, pourn∈N^∗, les variations de P_n sur [0,+∞[ et dresser le tableau de variations deP_n. 3. Montrer, pour toutn∈N^∗ :P_n(1)<0.

4. (a) V´erifier, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ :

P_n+1(x) =P_n(x) +x²ⁿ⁺¹

− 1

2n+ 1 + x 2n+ 2

.

(b) En d´eduire, pour toutn∈N^∗ :Pn(2)>0.

5. Montrer que, pour tout n∈ N^∗, l’´equationPn(x) = 0, d’inconnue x∈[1,+∞[, admet une solution et une seule not´eexn, et que :

1< xn62.

II. Limite de la suite (x

)

1. ´Etablir, pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0,+∞[ : Pn(x) =

Z x 0

t²ⁿ−1 t+ 1 dt.

2. En d´eduire, pour toutn∈N^∗:

Z x_n 1

t²ⁿ−1 t+ 1 dt=

Z 1 0

1−t²ⁿ t+ 1 dt.

3. D´emontrer, pour tout n∈N^∗ et toutt∈[1,+∞[ :

t²ⁿ−1>n(t²−1).

4. En d´eduire, pour toutn∈N^∗:

Z x_n 1

t²ⁿ−1

t+ 1 dt> n

2(xn−1)², puis :

0< xn−16

√ 2 ln 2

√n . 5. Conclure quant `a la convergence et `a la limite de la suite (x_n)_n∈N^∗.

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