Math´ ematiques Concours blanc n
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Septembre 2018 Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
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electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
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Exercice 1
.Soitf la fonction d´efinie surRpar
f(x) = ex e2x+ 1.
1. (a) Montrer quef est paire. Etudier les variations de f et tracer sa courbe.
(b) Montrer qu’il existe un unique r´eel `tel quef(`) =`. Justifier que 0≤`≤1
2 (on donnef(1/2)<1/2 ).
(c) Montrer que pour tout r´eelx:|f0(x)| ≤f(x)≤1 2. 2. On d´efinit la suite (un)n∈Npar :
u0= 0 et∀n∈N, un+1=f(un) (a) Montrer que, pour toutn∈N, un∈
0,1
2
(b) Montrer que, pour toutn∈N:
|un+1−`| ≤ 1
2|un−`| puis |un−`| ≤ 1 2n+1. (c) En d´eduire que la suite (un) converge vers`.
(d) Ecrire un programme enScilab permettant d’obtenir une valeur approch´ee de ``a 10−3pr`es.
Exercice 2
.Dans tout l’exercice,nd´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
1. (a) ´Etudier, suivant la parit´e den,le tableau de variations de la fonctionf d´efinie surRpar f(x) =xn+1+xn.
(b) Montrer que dans tous les casf
− n n+ 1
<2.
(c) Calculerf(1) et en d´eduire, suivant la parit´e den, le nombre de solutions de l’´equation d’inconnue x: xn+1+xn= 2.
2. On noteA=
1 1 1 1
et D=
0 0 0 2
(a) D´eterminer la matriceP de la forme
1 1 x y
telle que : A·P =P·D
(b) Montrer queP est inversible et en d´eduire queA=P·D·P−1 etD=P−1·A·P. 3. On consid`ere l’´equation matricielle d’inconnueX matrice carr´ee de taille 2 :
(En) Xn+1+Xn=A
(a) Montrer que la r´esolution de cette ´equation peut se ramener `a la r´esolution de l’´equation d’inconnueY matrice carr´ee de taille 2 :
(En0) Yn+1+Yn=D (b) SoitY une solution de (En0). On poseY =
a b c d
i. Montrer queD·Y =Y ·D.
ii. En d´eduire queb=c= 0.
iii. Quelle sont les valeurs possibles dea?
iv. Discuter suivant les valeurs den,le nombre de solutions de l’´equation (En).
(c) On noteαla solution n´egative de l’´equation num´erique x4+x3= 2.
D´eterminer les solutions de l’´equation (E3) `a l’aide deα.
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Exercice 3
.On d´esigne parnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On notepun r´eel de ]0; 1[ et on poseq= 1−p.
On dispose d’une pi`ece donnant ’Pile’ avec la probabilit´epet ’Face’ avec la probabilit´eq.
On lance cette pi`ece et on arrˆete les lancers dans l’une des deux situations suivantes :
• Soit si l’on a obtenu ’Pile’
• Soit si l’on a obtenunfois ’Face’.
Pour tout entier naturelknon nul, on notePk (respectivementFk) l’´ev´enement
on obtient ’Pile’ (respectivement ’Face’) auke lancer.
On noteTn le nombre de lancers effectu´es,Xn le nombre de ’Pile’ obtenus et enfinYn le nombre de ’Face’ obtenus.
On admet queTn ,Xn etYn sont des variables al´eatoires toutes les trois d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω;A;P) que l’on ne cherchera pas `a pr´eciser.
1. Loi deTn
(a) Pour toutkde [[1;n−1]] , d´eterminer, en distinguant le cask= 1, la probabilit´eP(Tn=k) . (b) D´eterminerP(Tn =n) .
(c) V´erifier que
n
X
k=1
P(Tn =k) = 1 .
(d) ´Etablir queTn poss`ede une esp´erance et v´erifier que E(Tn) =1−qn 1−q . 2. Loi deXn
(a) Donner la loi deXn .
(b) V´erifier queE(Xn) = 1−qn . 3. Loi deYn
(a) D´eterminer, pour toutkde [[0;n−1]] , la probabilit´eP(Yn=k) . (b) D´eterminerP(Yn=n) .
(c) ´Ecrire une ´egalit´e liant les variables al´eatoiresTn ,Xn et Yn , puis en d´eduireE(Yn) .
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Exercice 4
. Partie 1On pose, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 1,vn =
n
X
k=1
1 k.
1. ´Ecrire un programme enScilab renvoyantvn lorsque l’utilisateur entre la valeur denau clavier.
2. Montrer que pour tout entier naturelk >1, 1 k ≤
Z k
k−1
1
tdt= ln (k)−ln (k−1) 3. En d´eduire que :∀n∈N∗, vn≤ln(n) + 1.
Partie 2
On consid`ere une suite (un)n∈Nd´efinie par son premier termeu0= 1 et par la relation suivante, valable pour tout entier n:
un+1=un+ 1 un
.
1. ´Ecrire un programme enScilab permettant de calculer et d’afficherun lorsque l’utilisateur entre la valeur denau clavier.
2. (a) Montrer par r´ecurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement d´efini et strictement positif.
(b) En d´eduire le sens de variation de la suite (un)n∈N. 3. (a) Pour tout entierk, exprimeru2k+1−u2k en fonction deu2k.
(b) En d´eduire que :∀n∈N∗:
u2n= 2n+ 1 +
n−1
X
k=0
1 u2k.
(c) Montrer que :∀n∈N∗, u2n≥2n+ 1. En d´eduire la limite de la suite (un)n∈N. 4. (a) `A l’aide du r´esultat pr´ec´edent, montrer que, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2 :
u2n ≤2n+ 2 + 1 2vn−1.
(b) En utilisant la partie 1, ´etablir que, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2 : u2n≤2n+5
2+ln(n−1)
2 .
(c) En d´eduire finalement que un
√2n tend vers 1 quandn→+∞.
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