Samedi 9 Janvier 2021
Dur´ ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N
◦4
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT
• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
•Lapr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de lar´edaction,la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour unepart importante dans l’appr´eciation des copies.
• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦4 Les Ulis
PROBL` EME
Les puissances de matrices stochastiques
Les matrices stochastiques sont des matrices carr´ees dont les coefficients sont tous positifs ou nuls, et la somme des coefficients de chaque ligne est ´egale `a 1. Elles sont souvent utilis´ees pour mod´eliser les change- ments d’´etat de syst`emes concrets. Le calcul de leurs puissances successives s’av`ere crucial pour d´eterminer le comportement `a long terme de tels syst`emes `a l’aide de la limite.
Soitp est un r´eel fix´e de l’intervalle ]0,1[ repr´esentant une probabilit´e : 0< p <1.
On d´efinit la matriceA=
p 1−p 0
0 p 1−p
0 0 1
.
Les deux parties sont totalement ind´ependantes.
Partie A - Des suites pour des puissances
1. V´erifier que Aest stochastique.
2. CalculerA2. Que vautA0?
3. En utilisant la relation An+1 =A×An, montrer que,∀n∈N, il existe 3 r´eelsan,bnetcntels que :
An=
pn an bn
0 pn cn
0 0 1
On exhibera les relations dean+1,bn+1 etcn+1 en fonction de an, bn etcn.
On prouvera notamment quecn+1=pcn+(1−p) et on pr´ecisera ´egalementa0, b0, c0 ainsi quea1, b1, c1. 4. Au vu de la relation classique d´efinissant (cn), d´eterminer une expression decn en fonction de n.
5. (a) Montrer que la suite (an)n∈N v´erifie : ∀n∈N, an+2−2pan+1+p2an= 0.
(b) En d´eduire une expression de an en fonction den.
6. On pose la matrice colonneU =
1 1 1
et l’ensemble E={M ∈ M3(R) |M U =U} (a) Prouver queA∈ E.
(b) Prouver que si M etN sont deux ´el´ements deE, alors M N l’est ´egalement.
(on dit que E est stable par produit matriciel)
(c) En d´eduire que An∈ E et que n´ecessairement, pour toutn∈N,bn= 1−npn−1+ (n−1)pn.
Partie B - Des calculs matriciels
On d´efinit les matricesB =
p 0 1−p 0 p 1−p
0 0 1
et C=
0 1−p p−1
0 0 0
0 0 0
.
7. Que vautB+C?
8. On d´efinit la matriceP =
1 0 1
1 −1 1
0 0 1
. Montrer queP est inversible et calculer P−1. 9. Calculer la matrice ∆ =P−1BP et v´erifier qu’elle est diagonale.
10. A l’aide des r´` esultats pr´ec´edents, donner en justifiant une expression deBn en fonction de ∆n, P et P−1.
Apr`es calculs que vous savez tous faire assur´ement, on trouve Bn=
pn 0 1−pn 0 pn 1−pn
0 0 1
.
11. Calculer C2. En d´eduire une expression de An en fonction des puissances des matrices B et C puis retrouver l’expression deAnde lapartie A.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 2 PCSI 2020-2021
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EXERCICE 1
Spoil : La s´erie harmonique diverge
On d´efinit pour tout n∈N?, la somme harmoniqueSn=
n
X
k=1
1 k. Le but de l’exercice est de prouver que cette suite diverge (vers+∞).
1. Montrer que pour toutx∈R+, ln(1 +x)6x.
2. En d´eduire que : ∀k∈N?, 1
k >ln(k+ 1)−ln(k).
3. Pour toutn∈N?, calculer
n
X
k=1
ln(k+ 1)−ln(k).
4. En d´eduire que lim
n→+∞Sn= +∞.
EXERCICE 2
Une suite d’irrationnels On consid`ere la fonction f :x7→ 1
x− bxc.
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f not´eD. Montrer quef est p´eriodique de p´eriode 1.
2. Etudier´ f sur ]0,1[ notamment les variations et les limites aux bornes de l’intervalle, ainsi que l’ensemble imagef(D). On r´ealisera le trac´e def sur son ensemble de d´efinition D.
3. Montrer que six est rationnel alors f(x) est rationnel.
Montrer aussi que six est irrationnel alors f(x) est irrationnel.
On posex0=√
2 et pour tout n∈N,xn+1=f(xn)
4. Prouver que la suite (xn) est bien d´efinie et que ∀n∈N,xn>1.
5. Calculerx1,x2.
6. Prouver que la suite (xn) est stationnaire.
EXERCICE 3
Une suite d’int´egrale Pour tout entiern deN, on consid`ere l’int´egrale In=
Z e
1
(lnt)n dt.
1. CalculerI0 puis I1.
2. Effectuer le changement de variablex= ln(t) dansIn. 3. Justifier que∀n∈N,In>0.
4. Prouver, `a l’aide d’une int´egration par partie que :
∀n∈N, In+1=e−(n+ 1)In
En d´eduire I2,I3,I4.
5. D´emontrer que∀n∈N, (n+ 1)In6e.
6. En d´eduire la limite de In, puis queIn ∼
+∞
e n.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 3 PCSI 2020-2021
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EXERCICE 4
Une suite r´ecurrente radicalement compliqu´ee
On d´efinit une suite (un)n∈N par :
u0 >0 et ∀n∈N, un=√
n+un−1
1. D´emontrer que pour tout entier natureln, un>√
n. En d´eduire la limite de (un).
2. (a) D´emontrer que∀x∈R+, √ x6 1
2(1 +x).
(b) En d´eduire `a l’aide d’une r´ecurrence queun6n+u0 2n. (c) Conclure que la suite
un−1
n2
n∈N?
converge vers 0.
(d) Montrer que la suiteun n
n∈N?
converge vers 0.
(e) Finalement, prouver que :
∀n∈N?, 16 un
√n 6 r
1 +un−1
n et en d´eduire un ´equivalent simple de un en +∞
3. On pose , pour toutn∈N,wn=un−√ n.
(a) Prouver que√
n+un−1+√ n ∼
+∞2√ n.
(b) En d´eduire que la suite (wn)n∈N admet une limiteL que l’on d´eterminera.
(c) Prouver enfin queun=√
n+L+o(1).
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 4 PCSI 2020-2021
