Samedi 19 Septembre 2020
Dur´ ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N
◦1
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrice, t´el´ephone portable, ordinateur est interdit
AVERTISSEMENT
• Composer sur copies doubles grand carreaux uniquement.
• A la fin d’un exercice on change de page (ou de copie) obligatoirement.
•Lapr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de lar´edaction,la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour unepart importante dans l’appr´eciation des copies.
• En particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦1 Les Ulis
EXERCICE 1
Rien ne sert de courir il faut connaˆıtre son cours...
1. Enoncer l’in´´ egalit´e triangulaire.
2. Enoncer la propri´´ et´e «Fonctions monotone et bijection»(celle au programme de colle) 3. Soitf :I →J une bijection.
Enoncer le th´´ eor`eme permettant d’affirmer quef−1 est d´erivable sur J et la formule donnant (f−1)0. 4. On rappelle que pour une fonctionf et un ensemble A,f(A) ={f(x) |x∈A} d´esigne d’image deA
parf. Recopier et compl´eter sans justifier sur votre copie :
cos(R) =. . . exp(R) =. . . ln(]0,1]) =. . . . 5. Rappeler la d´eriv´ee des fonctions cos, ln, exp,x 7→ √
x et x 7→ 1
xn (avec n∈ Nfix´e) en rappelant le domaine de validit´e `a chaque fois.
EXERCICE 2
Quantifions, assertions, prouvons...
1. Traduire avec les quantificateurs universels les assertions suivantes : (a) La fonctionf :R→R est minor´ee.
(b) La fonction f :R→R admet en maximum (global) enx= 2.
(c) La fonctionf :R→R est constante.
2. Voici la d´efinition avec des quantificateurs de« lim
n→+∞un=`». Nier cette assertion :
∀ε >0, ∃N ∈N, n>N ⇒ |un−`|6ε
3. Pour chacun des propositions, donner la n´egation, puis dire si la proposition est vraie ou fausse.
On justifiera bien entendu.
(a) ∀x∈[0,+∞[, x2 >x (b) ∀n∈N∗, 161 +1
n 62
(c) ∀y∈]−1,1[, ∃x∈]−1,1[, y < x
4. Rappeler la d´efinition d’une fonction d´efinie surRet impaire.
D´emontrer que le produit de deux fonctions d´efinies surR et impaires est une fonction paire.
EXERCICE 3
Equations, in´´ equations, d´erivons, it´erations, d´emontrons...
1. R´esoudre l’´equation √
x2−2x=x−3 d’inconnuex.
2. R´esoudre l’´equation ln(2x−1) =−ln(x) d’inconnuex.
3. R´esoudre l’´equation 2− |x−1|6|x|
4. D´emontrer que pour toutn∈N,n6p
n(n+ 1)< n+ 1.
En d´eduire bp
n(n+ 1)c. (bxc d´esigne la partie enti`ere du nombre r´eel x.)
5. D´emontrer que∀t∈R+,|sint|6t. (premi`ere question du sujet CCINP 2020 PSI) 6. D´eriver la fonction f :x7→ 1
xlnx en pr´ecisant le domaine de validit´e.
7. Soit (un) une suite d´efinie par r´ecurrence paru0 = 2,u1 = 7 et pour toutn∈N, un+2 = 7un+1−12un. Prouver que∀n∈N,un= 3n+ 4n.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 2 PCSI 2020-2021
Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦1 Les Ulis
EXERCICE 4
Sur un air de chaˆınette...
Soit f la fonction d´efinie, lorsque c’est possible, par f(x) = ln
ex−e−x 2
. 1. Prouver quef est d´efinie uniquement surR+∗.
2. Calculer les limites def aux bornes de l’ensemble de d´efinition.
3. D´eterminer le sens de variation de f par l’´etude de sa d´eriv´ee.
4. Prouver que :
∀x >0, f(x) =x+ ln
1−e−2x 2
5. En d´eduire l’existence d’une asymptote oblique `a la courbe en +∞ dont on pr´ecisera l’´equation.
EXERCICE 5
Un avant-goˆut du concours Centrale...
Cet exercice est, avec quelques adaptations, le d´ebut d’un des deux sujets de maths du concours Centrale PSI 2020. Ne prenez pas peur, il s’agit uniquement de notions de d´ebut de premi`ere ann´ee...
Le but de l’exercice est de d´efinir la fonction de Lambert et d’´etudier certaines de ses propri´et´es. On consid`ere dans toute cette partie, l’application :
f :
R → R x 7→ xex
1. (a) Faire l’´etude compl`ete de la fonctionf. (tableau de variations et limites)
(b) Tracer soigneusement sur un grand graphique la courbeCf repr´esentative de la fonctionf. (c) Donner les ´equations des tangentes `aCf aux points abscisse 0 et−1 et les porter sur le graphique.
2. Justifier que l’application f r´ealise une bijection de [−1,+∞[ sur l’intervalle [−e−1,+∞[.
Dans la suite du sujet, la r´eciproque de cette bijection est not´eeW. On rappelle que cela signifie que pour tout r´eelx>−e−1,W(x) est l’unique solution de l’´equation f(t) =x (´equation d’inconnuet∈[−1,+∞[).
3. (a) Justifier queW est continue sur [−e−1,+∞[ et d´erivable sur ]−e−1,+∞[.
(b) ExpliciterW(0) etW0(0).
(c) Donner les ´equations des tangentes `a la courbe de W au point d’abscisse 0 et −e−1.
(d) Tracer, sur le mˆeme graphique que Cf, la courbeCW repr´esentantW et ses deux tangentes.
4. Prouver que∀x∈]−e−1,+∞[,W0(x) = W(x) x(1 +W(x))
5. D´emontrer que l’application f r´ealise une bijection de l’intervalle ]− ∞,−1] sur l’intervalle [−e−1,0[.
Dans la suite du sujet, la r´eciproque de cette bijection est not´eeV. (W et V sont appel´es les deux branches de la fonction de Lambert et elles ne s’expriment pas `a l’aide de fonctions usuelles.)
8. Pour un param`etre r´eelm, on consid`ere l’´equation d’inconnue x∈R (E) xex=m
D´eterminer, en fonction de m, le nombre de solutions de (E). Expliciter les solutions ´eventuelles `a l’aide des fonctionsV etW.
9. Pour des param`etres r´eels non nuls aetb, on consid`ere l’´equation d’inconnue x∈R: (F) eax+bx=m
D´eterminer, suivant les valeurs de a et b, le nombre de solutions de l’´equation (F). Expliciter les solutions ´eventuelles `a l’aide des fonctionsV etW.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 3 PCSI 2020-2021
Lyc´ee de l’Essouriau DEVOIR SURVEILL ´E N◦1 Les Ulis
EXERCICE 6 (Bonus, si tout le reste a ´ et´ e fait...)
Une ´equation fonctionnelle
L’objectif de cet exercice est de d´eterminer l’ensemble des fonctionsf de RdansR qui v´erifient :
∀x∈R, f(x) +xf(1−x) = 1 +x (E1) 1. Soitf une fonction solution, c’est `a dire une fonction qui v´erifie (E1).
(a) D´eterminer f(12).
(b) Montrer que pour toutx∈R,
f(1−x) + (1−x)f(x) = 2−x.
On note cette ´egalit´e (E2).
(c) A l’aide (E1) et (E2), d´eterminer une expression def(x) valable pour tout x∈R. 2. Conclure l’exercice.
Fabien D´ELEN fdelen.maths@bbox.fr 4 PCSI 2020-2021
