O11 - Etude fonction exp (ex facile corrigé) - TS 2017
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Etude fonction exponentielle
Enoncé
Corrigé
a) Pour étudier le signe de 𝒇(𝒙), on résout 𝒇(𝒙) = 𝟎.
𝑓(𝑥) = 0
⇔ (1 + 𝑥) 𝑒−𝑥 = 0
⇔ 1 + 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑒−𝑥 = 0
⇔ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 ∅ car la fonction 𝑒𝑥 > 0
Soit le tableau suivant :
𝑥 −∞ −1 +∞
1 + 𝑥 − + 𝑒−𝑥 + + 𝑓(𝑥) − +
b)
Limite en −∞
{
𝑥→−∞lim 1 + 𝑥 = −∞
𝑥→−∞lim −𝑥 = +∞
𝑋→+∞lim 𝑒𝑋 = +∞
𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠é𝑒 lim
𝑥→−∞𝑒−𝑥 = +∞
Par produit lim
𝑥→−∞𝑓(𝑥) = −∞
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Limite en +∞
𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) 𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥 + 𝑥 𝑒𝑥
{
𝑥→+∞lim −𝑥 = −∞
𝑋→−∞lim 𝑒𝑋 = 0 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠é𝑒 lim
𝑥→+∞𝑒−𝑥 = 0
𝑥→+∞lim 𝑒𝑥
𝑥 = +∞ donc lim
𝑥→+∞
𝑥 𝑒𝑥 = 0 Par somme lim
𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 0
c) La fonction 𝑓 est une fonction polynôme définie et dérivable sur ℝ.
𝑓 est de la forme 𝑢 × 𝑣 avec : 𝑢(𝑥) = 1 + 𝑥 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑢′(𝑥) = 1 𝑒𝑡 𝑣′(𝑥) = −𝑒−𝑥
D’où 𝑓′(𝑥) = 1 × 𝑒−𝑥 + (−𝑒−𝑥) × (1 + 𝑥)
⇔ 𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥[1 − (1 + 𝑥)]
⇔ 𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥 (−𝑥)
d) Etude du signe de 𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 0
⇔ 𝑒−𝑥 (−𝑥) = 0
⇔ 𝑒−𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 𝑥 = 0
⇔ ∅ car la fonction 𝑒𝑥 > 0 ou 𝑥 = 0 Soit le tableau suivant :
𝑥 −∞ 0 +∞
−𝑥 + − 𝑒−𝑥 + + 𝑓′(𝑥) + −
𝑓
1
−∞ 0
𝑓(0) = (1 + 0) 𝑒−0= 1 × 1 = 1 Calcul de 𝑓(0)
