M´emoire de math´ematiques. Master 2 de math´ematiques. Th´eorie des nombres.

Olivier B ouillot

Universit´ e Paris Sud , Orsay.

M´ emoire de math´ ematiques.

Master 2 de math´ ematiques.

Th´ eorie des nombres.

Propri´ et´ es diff´ erentielles de formes modulaires.

Sous la direction de M. Daniel B ertrand .

Institut de Math´ ematiques de Chevaleret.

Table des mati` eres

1 Introduction. 7

2 La fonction G

₂

. 9

2.1 D´ efinition et propri´ et´ e de la fonction G

₂

. . . . 9

2.1.1 D´ efinition . . . . 9

2.1.2 Perte du caract` ere modulaire. . . . 12

2.2 Fonction G

^∗₂

. . . . . 13

2.2.1 Estimation de l’int´ egrale de Fourier Z

R

e

^−2iπxt

(t + iy)

^2+s2

(t − iy)

^s2

dt . . . 14

2.2.2 Calcul de X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1 (mz + n)

²

|mz + n|

^s

pour z ∈ H et s ∈ C , <e s > 0. . . . . 16

2.2.3 D´ efinition de la fonction G

^∗₂

, et propri´ et´ e. . . . . 18

2.3 Fonctions E

2

et E

2∗

. . . . . 21

3 Formes modulaires presque holomorphes et formes quasi-modulaires. 23 3.1 Introduction des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presques holomorphes. . . . . 23

3.1.1 Motivations. . . . 23

3.1.2 D´ efinitions et premiers exemples. . . . 24

3.2 Premi` eres propri´ et´ es des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque holomorphes. . . . 27

3.2.1 Utilit´ e de la profondeur. . . . 27

3.2.2 Structure d’alg` ebre gradu´ ee sur M f et M. c . . . . 28

3.2.3 Op´ erateurs diff´ erentiels sur M c

_k

(Γ) et M f

_k

(Γ). . . . 30

3.2.4 Etude des coefficients des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presque-holomorphes. . . . 35

3.3 Isomorphisme entre M f

_k

(Γ) et M c

_k

(Γ). . . . . 41

3.4 Structure de M c

^≤s_k

(Γ) et M f

^≤s_k

(Γ) o` u Γ est un sous-groupe de congruence de SL

2

( Z ). . . . . 44

3.4.1 Structure de M c

^≤s_k

(Γ) et M f

^≤s_k

(Γ). . . . . 44

3.4.2 Cas particulier de M c

^≤s_k

(SL

₂

( Z )) et M c

^≤s_k

(SL

₂

( Z )). . . . 47

4 Valeurs sp´ eciales de formes modulaires presque holomorphes : th´ eor` eme de Shimura. 51 4.1 Quelques notations et rappels de propri´ et´ es. . . . 51

4.1.1 Rappels de notations autour des formes modulaires. . . . 51

4.1.2 Notations autour des formes modulaires presques holomorphes arithm´ etiques. 52 4.1.3 Notation autour des op´ erateurs diff´ erentiels introduit par Shimura,

et propri´ et´ es ´ el´ ementaires. . . . 53

4.2 Le th´ eor` eme de Shimura. . . . 55

4.2.1 Valeurs sp´ eciales de formes modulaires arithm´ etiques. . . . 55

4.2.2 Propri´ et´ es arithm´ etiques. . . . 56

4.2.3 Principe de la d´ emonstration. . . . 57

4.3 Vers la d´ emonstration du th´ eor` eme de Shimura. . . . 58

4.3.1 Des lemmes interm´ ediaires. . . . 58

4.3.2 D´ emonstration de la propri´ et´ e 2. . . . . 64

4.4 D´ emonstration du th´ eor` eme de Shimura. . . . 67

5 Autour d’un probl` eme de Katz. 69 5.1 R´ eseau ` a multiplications complexe. . . . 69

5.2 Point de d´ epart : un corollaire au th´ eor` eme de Shimura. . . . . 70

5.3 L’´ enonc´ e du probl` eme pos´ e par N. Katz. . . . 71

5.4 Lien avec une conjecture de [2]. . . . 71

5.5 Int´ erˆ et du probl` eme de Katz. . . . . 73

5.6 O` u se trouve la difficult´ e dans ce probl` eme ? . . . . 76

5.6.1 Sch´ ematisation d’une d´ emonstration de transcendance. . . . 76

5.6.2 Quelques pistes pour le probl` eme de Katz. . . . 77

6 Formes modulaires, th´ eorie de Eichler-Shimura et ´ equations diff´ erentielles. 79 6.1 Equation diff´ erentielle non lin´ eaire. . . . 79

6.2 Equation diff´ erentielle lin´ eaire. . . . . 80

7 Conclusion. 83 A Fonctions elliptiques. 85 A.1 Th´ eor` emes de Liouville. . . . . 86

A.2 Fonctions elliptiques de Weierstrass . . . . 87

A.3 Fonctions elliptiques et ´ equations diff´ erentielles. . . . 87

A.4 Formule d’addition. . . . . 88

A.5 Fonction zˆ eta de Weierstrass. . . . 88

B Fonctions modulaires. 89 B.1 Le groupe modulaire. . . . 89

B.2 Fonctions et formes modulaires. . . . 90

B.3 Alg` ebre des formes modulaires relativement ` a SL

₂

( Z ). . . . . 91

B.3.1 Z´ eros et pˆ oles d’une forme modulaire. . . . 91

B.3.2 Description de l’espace des formes modulaires. . . . 92

C S´ eries d’Eisenstein. 93 C.1 D´ efinitions. . . . . 93

C.1.1 Le cas o` u k est un entier sup´ erieur ` a 3. . . . 93

C.1.2 Le cas o` u k = 2. . . . 93

C.1.3 Premi` ere propri´ et´ e. . . . . 94

C.2 D´ eveloppement en s´ erie, ` a l’infini, des G

_k

. . . . . 94

C.3 Lien avec les fonctions elliptiques. . . . 95

C.3.1 D´ eveloppement de Laurent en 0. . . . 95

C.3.2 S´ erie d’Eisenstein G

₂

et quasi - p´ eriodes. . . . 95

C.3.3 Expression de E

₂

, E

₄

et E

₆

en notations elliptiques. . . . 95

C.4 Lien avec les formes modulaires. . . . 96

C.4.1 Exemples et contre - exemple de formes modulaires. . . . 96

C.4.2 Alg` ebre des formes modulaires. . . . 96

C.4.3 Equations diff´ erentielles v´ erifi´ ees par E

₂

, E

₄

, E

₆

. . . . 96

D Discriminant et invariant modulaire. 97 D.1 Discriminant. . . . 97

D.2 L’invariant modulaire. . . . . 98

D.2.1 L’invariant modulaire et les courbes elliptiques. . . . 98

D.2.2 Fonctions modulaires de poids 0. . . . 99

E Autour du th´ eor` eme de Nesterenko. 101 E.1 Le th´ eor` eme et ses corollaires. . . 101

E.2 Principe de d´ emonstration du th´ eor` eme. . . 103

E.3 Conjecture de Nesterenko. . . 105

Introduction.

Nous savons que les fonctions G

_2k

, pour k ∈ N

^∗

, k ≥ 2, d´ efinissent des formes modulaires classiques ; il n’en est pas de mˆ eme de la fonction G

2

. Nous allons donc commencer par construire une fonction G

₂^∗

(chapitre 1), ` a partir de la fonction G

₂

qui v´ erifiera la condition de modularit´ e de poids 2.

A partir de l` a, nous allons essayer de comprendre les enjeux d’un probl` eme pos´ e par Nicholas Katz

¹

en 1976 (chapitre 6) : « si un r´ eseau L ⊂ C est tel que les quantit´ es G

2∗

(L), G

4

(L) et G

6

(L) soient alg´ ebriques, le r´ eseau L est-il n´ ecessairement

`

a multiplication complexe ? »

Cette question correspond ` a la r´ eciproque d’un th´ eor` eme bien connu :

« si L ⊂ C est un r´ eseau ` a multiplication complexe tel que les quantit´ es G

4

(L) et G

6

(L) soient alg´ ebriques, alors G

₂^∗

(L) ∈ Q » , th´ eor` eme que nous d´ emontrerons au chapitre 6.

Ce probl` eme de Katz, toujours ouvert aujourd’hui, est int´ eressant, car il s’agit d’un analogue au second probl` eme de Schneider. La probl´ ematique qu’il soul` eve est de mˆ eme nature que celle du probl` eme de Schneider : comment une preuve modulaire peut elle distinguer si la variable complexe utilis´ ee est un point de multiplication complexe ou non ? Mais ce qui est surtout int´ eressant ici, c’est qu’il s’agit d’un probl` eme ouvert, contrairement au th´ eor` eme de Schneider sur (τ, j(τ)).

Il n’est donc plus question de distinguer probl` eme modulaire et probl` eme elliptique, mais d’arriver ` a construire une preuve, si la r´ eponse est positive, probablement modu- laire, prenant en compte le fait que τ = ω

₁

ω

₂

si L = Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

puisse ˆ etre un point de multiplication complexe, ou non.

Pour comprendre l’origine de cette question pos´ ee par Katz, nous allons poursuivre, apr` es l’´ etude de la fonction G

₂^∗

, par l’´ etude des deux g´ en´ eralisations des formes modulaires dues essentiellement ` a G. Shimura et D. Zagier (chapitre 3).

L’une d’elle, l’´ etude des formes modulaires presque holomorphes, nous sera parti- culi` erement utile pour d´ emontrer le th´ eor` eme de base concernant l’alg´ ebricit´ e de G

₂^∗

(L) si L est ` a multiplication complexe (chapitre 5) .

Plusieurs d´ emonstrations de ce fait existent ; elles sont de natures diff´ erentes

²

, puisque modulaire, elliptique ou cohomologique. Nous exposerons ici la version modulaire, qui n´ ecessite, elle, la d´ emonstration d’un th´ eor` eme de Shimura (chapitre 4, §4.2, th´ eor` eme

1

Voir [9], §4.0.8. p 501.

2

Voir [9], §4 p 499 ; [1].

Pour le point de vue elliptique, voir aussi [4] et [34]

et §4.3.2) : « toute fonction m´ eromorphe modulaire presque holomorphe arithm´ etique est

`

a valeurs dans le corps des nombres alg´ ebriques en des points de multiplication complexes diff´ erents de ses pˆ oles. » La preuve (§4.3.2.) passe par l’´ etude d’op´ erateurs diff´ erentiels qui reflˆ ete en partie les propri´ et´ es des ´ equations diff´ erentielles alg´ ebriques satisfaites par les formes modulaires.

Le chapitre 5 est consacr´ e au probl` eme de Katz, ` a la lumi` ere du r´ esultat d’alg` ebricit´ e

´

etabli plus haut. Nous verrons qu’une des difficult´ es du probl` eme de Katz est que l’absence d’holomorphie interdit l’utilisation des lemmes de Schwarz qui est l’un des outils principaux de transcendance. Nous illustrerons leurs utilisations dans l’appendice autour du th´ eor` eme de Nesterenko. Ainsi, nous remarquerons que les formes quasi - modulaires se prˆ etent ` a de la transcendance, alors que les formes modulaires presques holomorphes r´ esistent.

Au chapitre 6, enfin, nous d´ ecrirons quelques aspects de la th´ eorie de Eichler - Shimura, qui met en jeu des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires satisfaites par les formes modulaires.

Nous renvoyons le lecteur ` a [20] et [22] pour l’´ etude de groupes modulaires plus

g´ en´ eraux que PSL

₂

( Z ).

La fonction G ₂ .

On sait que

¹

pour σ ∈ C , <e σ > 2 et tout τ ∈ H,

1 (m + nτ )

^σ

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

est une famille sommable, et qu’alors, pour tout k ∈ N , k ≥ 2, la fonction

G

_2k

(τ) = X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(m + nτ )

^2k

d´ efinit sur H une forme modulaire de poids 2k, de d´ eveloppement de Fourier donn´ e par G

_2k

(z) = 2ζ(2k) + 2(2iπ)

^2k

(k − 1)!

+∞

X

n=1

σ

2k−1

(n)q

ⁿ

Par ailleurs, d’apr` es le th´ eor` eme de sommation par paquets des s´ eries doubles ` a termes positifs, pour q ∈ {z ∈ C ; |z| < 1} et k ∈ N

^∗

, on a successivement :

X

n∈N

σ

2k−1

(n)|q|

ⁿ

= X

n∈N

X

d∈N d|n

d

^2k−1

|q|

ⁿ

=

+∞

X

m=1 +∞

X

n=1

m

^2k−1

|q|

^mn

=

+∞

X

m=1

m

^2k−1

|q|

^m

1 − |q|

^m

< +∞

Ainsi, pour q ∈ {z ∈ C ; |z| < 1} et k ∈ N

^∗

, d

^2k−1

q

ⁿ

n∈N d|n

est une famille sommable.

En particulier, pour k = 1, on en d´ eduit que ∀z ∈ H, (de

^2inπz

)

^n∈N

d|n

est une famille sommable, d’o` u z 7−→ π

²

3 − 8π

²

+∞

X

n=1

σ

₁

(n)e

^2inπz

est parfaitement d´ efinit sur H

Ceci nous invite donc ` a vouloir tout de mˆ eme consid´ erer la fonction G

2

, d´ efinie sur H, bien que la somme, pour τ ∈ H, X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(m + nτ )

²

ne soit pas absolument convergente, mais convergente.

2.1 D´ efinition et propri´ et´ e de la fonction G ₂ .

2.1.1 D´ efinition

Nous allons commencer par montrer la convergence de la s´ erie

+∞

X

n=1

X

m∈Z

1 (m + nτ )

²

, pour tout τ ∈ H. Pour cela, nous allons utiliser la formule sommatoire de Poisson

²

afin de pouvoir calculer la somme sur m.

D’apr` es ce qui a ´ et´ e dit ci dessus, la d´ efinition, ainsi qu’une expression, de la fonction G

₂

en d´ ecoulera facilement.

1

Voir [26], chap. 7, §2.3 et §4.2

Lemme : ∀z ∈ H, X

m∈Z

1

(m + z)

²

= −4π

²

+∞

X

m=1

me

^2imπz

.

D´ emonstration : Soit z ∈ H, z = x + iy avec (x, y) ∈ R × R

⁺∗

. Notons Φ

y

: R −→ C

x 7−→ 1

(x + iy)

²

Alors : • Φ

y

∈ C

⁰

( R ) ∩ L

¹

( R )

• ∃M > 0, ∀x ∈ R , |Φ

_y

(x)| = 1

x

²

+ y

²

≤ M (1 + |x|)

³²

Calculons la transform´ ee de Fourier Φ c

_y

de Φ

_y

:

Le th´ eor` eme des r´ esidus, appliqu´ e au lacet Γ

_R

= {Re

^iθ

; θ ∈ [0; π]} ∪ [−R; R], orient´ e dans le sens trigonom´ etrique, puis un passge ` a la limite lorsque R −→ +∞, permet de d´ emontrer le lemme suivant

³

:

Lemme : Soit f ∈ L

¹

( R ).

On suppose que la fonction f admet un prolongement f e , holomorphe sur H − A, o` u A est une partie finie de H, v´ erifiant

lim

|z|−→+∞

| f e (z)| = 0.

Alors,

Z

+∞

−∞

f (t)e

^2iπxt

dt = 2iπ X

a∈A

Res

z 7−→ f e (z)e

^2iπaz

, a pour tout x > 0.

Dans l’optique d’utiliser la formule ci dessus, consid´ erons la fonction Φ f

y

d´ efinie par Φ f

y

: C − R −→ C

z 7−→ 1

(z + iy)

²

.

Alors, les fonctions Φ f

_y

et z 7−→ Φ f

_y

(−z)) prolongent holomorphiquement Φ

y

et t 7−→ Φ

_y

(−t)) sur H et H − {iy}) respectivement, et lim

|z|−→+∞

| Φ f

_y

(z)| = 0.

Ainsi, si x < 0, Φ c

_y

(x) = Z

R

Φ

_y

(t)e

^−2iπxt

dt = Z

R

Φ

_y

(t)e

^2iπ|x|t

dt = 2iπ × 0 = 0

si x > 0, Φ c

_y

(x)=

Z

R

Φ

_y

(−t)e

^2iπxt

dt = 2iπRes

z 7−→ Φ f

_y

(−z)e

^2iπxz

, iy

=2iπ e

^2iπxz

0

(iy) = (2iπ)

²

xe

^−2πxy

= −4π

²

xe

^−2πxy

2

Lemme : ( Formule sommatoire de Poisson. )

On utilisera comme d´ efinition de la transform´ ee de Fourier de f ∈ L

¹

( R ) la formule

∀x ∈ R , f(x) = b Z

R

f (t)e

^−2iπxt

dt.

Soit f ∈ C

⁰

( R ) ∩ L

¹

( R ) telle que • ∃M > 0, ∃α > 1, ∀x ∈ R , |f (x)| ≤ M (1 + |x|)

^α

• X

n∈Z

| f b (n)| < +∞

Alors, ∀x ∈ R , X

n∈Z

f (x + n) = X

n∈Z

f(n)e b

^2inπx

.

Pour la d´ emonstration. voir H. Queff´ elec, C. Zuily : El´ ements d’analyse, ´ Ed Dunod , p 93-94.

3

Voir par exemple, Amar - Matheron : Analyse complexe, ´ Ed Cassini , p 248-249.

De plus, pour x = 0, on a Φ c

y

(0) = Z

+∞

−∞

dt

(t + iy)

²

dt =

− 1 t + iy

+∞

−∞

= 0.

On a donc Φ c

y

(x) =

0 si x ≤ 0

−4π

²

xe

^−2πxy

si x > 0 .

Par cons´ equent, X

n∈Z

Φ c

y

(n)

= 4π

²

+∞

X

n=1

ne

^−2nπy

< +∞, car y > 0.

D’apr` es la formule de Poisson, appliqu´ e ` a la fonction Φ

_y

, on a donc : X

n∈Z

1

(n + z)

²

= X

n∈Z

1

(x + n + iy)

²

= X

n∈Z

Φ

y

(x + n) = X

n∈Z

Φ c

y

(n)e

^2inπx

= −4π

²

X

n∈Z

ne

^−2nπy

e

^2inπx

= −4π

²

+∞

X

1

ne

^2inπ(iy+x)

= −4π

²

+∞

X

1

ne

^2inπz

Il ne reste plus qu’` a regrouper les ingr´ edients pour obtenir la propri´ et´ e suivante : Propri´ et´ e : La fonction G

2

: H 7−→ C

τ 7−→ X

n∈Z

X

m∈Z m6=0 sin=0

1 (m + nτ )

²

est correctement

d´ efinie, et v´ erifie ∀τ ∈ H, G

₂

(τ) = π

²

3 − 8π

²

+∞

X

p=1

σ

₁

(p)e

^2ipπτ

.

D´ emonstration : • En appliquant le lemme pr´ ec´ edent, on a :

∀τ ∈ H,

+∞

X

n=1

X

m∈Z

1

(m + nτ )

²

= −4π

²

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

me

^2imnπτ

= −4π

²

+∞

X

p=1

σ

1

(p)e

^2ipπτ

, car me

^2imnπτ

(m,n)∈N^∗2

est une famille sommable.

• De plus, en effectuant successivement les changements d’indices m

⁰

= −m et n

⁰

= −n, on a :

∀τ ∈ H,

−1

X

n=−∞

X

m∈Z

1 (m + nτ )

²

=

+∞

X

n⁰=1

X

m⁰∈Z

1

(m

⁰

+ n

⁰

τ)

²

= −4π

²

+∞

X

p=1

σ

1

(p)e

^2ipπτ

• Ainsi, X

n∈Z

X

m∈Z m6=0 sin=0

1

(m + nτ )

²

est convergente pour tout τ ∈ H, de somme X

n=0

X

m∈Z m6=0 sin=0

1 (m + nτ )

²

+

+∞

X

n=1

X

m∈Z

1 (m + nτ )

²

+

−1

X

n=−∞

X

m∈Z

1

(m + nτ )

²

, ie 2ζ(2) − 8π

²

+∞

X

p=1

σ

₁

(p)e

^2ipπτ

, ce qui d´ emontre la propri´ et´ e.

2.1.2 Perte du caract` ere modulaire.

Maintenant que nous avons la d´ efinition de G

₂

, nous allons voir la diff´ erence essentielle entre cette s´ erie d’Eisenstein et les deux s´ eries G

₄

et G

₆

: il s’agit de la perte du caract` ere modulaire. Bien sur, cela provient du fait que pour τ ∈ H,

1 (m + nτ )2

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

n’est pas une famille sommable.

Pour d´ emontrer que G

₂

n’est pas invariante par l’action du groupe SL

₂

( Z ), nous allons utiliser l’´ etude de fonctions elliptiques, et notamment les deux formules suivantes liant la fonction de r´ eseaux G e

₂

, d´ efinie par G e

₂

( Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

) = 1

ω

₁²

G

₂

ω

₂

ω

₁

, aux quasi - p´ eriodes d’une fonction zeta de Weiertrass de mˆ eme r´ eseau Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

: Propri´ et´ e : Soit • Λ = Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

de C .

• ρ

_Λ

et ζ

_Λ

respectivement la fonction elliptique de Weierstrass et la fonction zeta de Weiertrass de r´ eseau Λ.

• η

₁

(Λ) et η

₂

(Λ) les quasi-p´ eriodes de ζ

_Λ

associ´ ees respectivement aux p´ eriodes ω

₁

et ω

₂

.

Alors,

( η

₁

(Λ) = ω

₁

G f

₂

( Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

) η

₂

(Λ) = ω

₂

G f

₂

( Z (−ω

₂

) ⊕ Z ω

₁

)

D´ emonstration : Les calculs suivant ´ etant identiques pour les deux quasi - p´ eriodes, nous ne les effectuerons que pour la quasi - p´ eriode η

₁

(Λ), quasi - p´ eriode d´ efinie par : ∀z ∈ C − Λ, η

₁

(Λ) = ζ

_Λ

(z + ω

₁

) − ζ

_Λ

(z), o` u pour tout z ∈ C − Λ, ζ(z) = 1

z + X

ω∈Λ−{0}

1 z + ω + z

ω

²

− 1 ω

. Puisque, pour tout z ∈ C − Λ,

1

z + ω

₁

+ ω − 1

z + ω + ω

1

ω

²

λ∈Λ−{0}

est une famille sommable, on a successivement, pour z ∈ C − Λ :

η

₁

(Λ) = ζ(z + ω

₁

) − ζ(z)

= 1

z + ω

1

− 1

z + X

ω∈Λ−{0}

1

z + ω

1

+ ω − 1

z + ω + ω

₁

ω

²

= X

n∈Z^∗

X

m∈Z

1

z + (m + 1)ω

1

+ nω

2

− 1

z + mω

1

+ nω

2

+ ω

₁

(mω

1

+ nω

2

)

²

+ X

m∈Z^∗

1 z + (m + 1)ω

1

− 1

z + mω

1

+ ω

₁

(mω

1

)

²

+ 1

z + ω

1

− 1 z Or, en ´ ecrivant X

m∈Z

= lim

M−→+∞

M

X

m=−M

et X

m∈Z^∗

= lim

M−→+∞

−1

X

m=−M

+

M

X

m=1

! , puis en simplifiant les sommes t´ elescopiques pr´ esentes, on obtient :

η

₁

(Λ) = X

n∈Z^∗

X

m∈Z

ω

₁

(mω

1

+ nω

2

)

²

+ X

m∈Z^∗

ω

₁

(mω

1

)

²

= 1

ω

1

X

n∈Z^∗

X

m∈Z

1

m + n ω

₂

ω

1

2

+ 1 ω

1

X

m∈Z^∗

1 m

²

= 1

ω

1

G

₂

ω

₂

ω

1

= ω

₁

G e

₂

( Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

)

D´ esormais, il n’est plus difficile de d´ emontrer que, bien qu’´ etant holomorphe, G

₂

ne v´ erifie pas la condition de modularit´ e de poids 2 sous l’action de SL

₂

( Z ).

Propri´ et´ e : 1. La fonction G

₂

est holomorphe sur H.

2. La fonction G

₂

n’est pas une forme modulaire.

D´ emonstration : 1. Soit K un compact de H.

Alors : ∃R > 0, ∃a > 0, ∀z ∈ H,

( −R ≤ <e z ≤ R a ≤ =m z ≤ 1

a .

Donc : ∀p ∈ N

^∗

, ∀τ ∈ K,

σ

1

(p)e

^2ipπτ

= σ

1

(p)e

^{−2pπ=m τ}

≤ σ

1

(p)e

^−2apπ

. Cette majoration prouve que la s´ erie de fonctions holomorphes sur H

τ 7−→ σ

1

(p)e

^2ipπτ

p∈N^∗

converge normalement sur tout compact de H.

Ainsi, d’apr` es le th´ eor` eme de Weiertrass, la fonction G

₂

est holomorphe sur H.

2. Montrons que : ∀τ ∈ H, G

₂

−

_τ¹

6= τ

²

G

₂

(τ).

Soit τ ∈ H.

Notons η

1

et η

2

les quasi - p´ eriodes de la fonction zeta de Weiertrass de r´ eseau Z ⊕ Z τ, associ´ ees aux p´ eriodes 1 et τ de la fonction elliptique de Weiertrass de mˆ eme r´ eseau.

La relation de Legendre

⁴

liant p´ eriodes et quasi - p´ eriodes d’une fonction elliptique s’´ ecrit ici : τ η

1

−η

2

= 2iπ, c’est - ` a - dire d’apr` es la propri´ et´ e pr´ ec´ edente 2iπ = τ G e

2

( Z ⊕ Z τ) − τ G e

2

( Z (−τ) ⊕ Z ) = τG

2

(τ ) − 1

τ G

2

− 1 τ

.

Ainsi, on a : ∀τ ∈ H, G

2

− 1 τ

= τ

²

G

₂

(τ ) − 2iτ π.

Ceci montre que G

2

n’est pas une forme modulaire, car sinon, elle serait de poids 2.

2.2 Fonction G ^∗ ₂ .

Pour compenser la perte de modularit´ e de G

₂

, nous allons maintenant d´ efinir une fonction G

^∗₂

, proche de G

₂

, qui sera invariante par l’action de SL

₂

( Z ). Evidemment, ce que l’on gagne d’un cˆ ot´ e va ˆ etre perdu de l’autre, car sinon, on obtiendrait une forme modulaire de poids 2 sur SL

₂

( Z ), alors qu’il n’en existe pas !

Pour cela, nous allons suivre l’id´ ee de Hecke , qui se d´ eroule en deux temps :

4

Propri´ et´ e : ( Relation de Legendre )

Les quasi - p´ eriodes η

₁

et η

₂

d’une fonction zeta de Weiertrass de r´ eseau Λ, associ´ ees aux p´ eriodes ω

1

et ω

2

de la fonction elliptique ρ de Weiertrass de mˆ eme r´ eseau Λ sont li´ ees par la relation

η

1

η

2

ω

1

ω

2

= ω

₂

η

₁

− ω

₁

η

₂

= 2iπ.

(1) rajouter un facteur de convergence ` a la somme d´ efinissant G

₂

, en consid´ erant la fonc- tion d´ efinie sur H × {z ∈ C ; <e z > 0 par : Φ(z, s) = X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

, (2) pouvoir d´ efinir G

^∗₂

(z) = lim

s−→0

<e s>0

Φ(z, s) pour z ∈ H.

Nous allons suivre la mˆ eme d´ emarche que lors de la d´ efinition de G

₂

, modulo quelques complications techniques : ` a savoir le calcul d’une transform´ ee de Fourier pour pouvoir appliquer la formule de Poisson et obtenir le d´ eveloppement de Fourier de Φ(., s) pour <e s > 0.

2.2.1 Estimation de l’int´ egrale de Fourier Z

R

e ^−2iπxt

(t + iy) ²⁺

^s2

(t − iy)

^2s

dt

Notons Log la d´ etermination principale du logarithme, d´ efini sur C − R

⁻

, par Log z = log |z| +iArg z, o` u Arg z ∈] − π; π[. Alors, pour tout s ∈ C et t ∈ R

^∗

, (z + it)

^s

est d´ efini par (z + it)

^s

= e

^sLog(z+it)

et on a la minoration |(z + it)

^s

| ≥ e

^{−π=m s}

|z + it|

^{<e s}

. A partir de cette consid´ eration simple, nous allons pouvoir d´ emontrer le lemme suivant, dont le but est de changer le domaine d’int´ egration de la transform´ ee de Fourier de H

_s,y

: t 7−→ 1

(t + iy)

^2+s2

(t − iy)

^2s

avec s ∈ C , <e s > 0 et y > 0, afin de pouvoir en obtenir une estimation.

Lemme : Soit y > 0.

(α, β)

²

∈ C

²

, <e (α + β) > 1.

Si Γ d´ esigne le contour ci contre, avec

A > 0

0 < y

₀

< y , et Γ

⁰

le contour sym´ etrique de Γ par rapport ` a <e z = 0, on a alors :

∀x > 0, Z

+∞

−∞

e

^ixt

(t + iy)

^α

(t − iy)

^β

dt = Z

Γ

e

^ixz

(z + iy)

^α

(z − iy)

^β

dz.

∀x < 0, Z

+∞

−∞

e

^ixt

(t + iy)

^α

(t − iy)

^β

dt = Z

Γ⁰

e

^ixz

(z + iy)

^α

(z − iy)

^β

dz.

La d´ emonstration est une adaptation du lemme page 10 utilis´ e pour calculer une transform´ ee de Fourier lors de la d´ emonstration de l’´ egalit´ e, valable pour z ∈ H : X

n∈Z

1

(z + n)

²

= −4π

²

+∞

X

m=1

me

^2imπz

.

En effet, on ne peut pas utiliser ce lemme, puisque l’on devrait calculer Res

z 7−→

_(z+iy)^eα^ixz(z−iy)^β

; iy

, ce que les techniques de calculs usuelles de r´ esidus ne permettent pas de faire, puisque α et β ne sont pas n´ ecessairement des entiers.

L’id´ eee est alors de modifier le contour utilis´ e dans ce lemme page 10 afin que ce contour soit le bord orient´ e d’un compact K ` a bord r´ egulier ne contenant pas iy.

D´ emonstration : Le lemme se d´ emontre de la mˆ eme facon, que x soit positif ou n´ egatif.

Nous supposerons donc x > 0.

Soit (A, R) ∈ R

⁺²

tel que 0 < A < R.

(y

0

, h) ∈ R

²

tel que 0 < y

0

< y < h.

Notons h

α,β

: C − {iy; −iy} −→ C

z 7−→ 1

(z + iy)

^α

(z − iy)

^β

.

Consid´ erons aussi le contour Γ

R,h

suivant :

• La fonction z 7−→ h

_α,β

(z)e

^ixz

est holomorphe sur C − {iy; −iy}, donc, d’apr` es le th´ eor` eme des r´ esidus,

Z

ΓR,h

h

α,β

(z)e

^ixz

= 0 (2.1)

• En utilisant la minoration |(z + it)

^s

| ≥ e

^{−π=m s}

|z + it|

^{<e s}

pour t ∈ R , (s, z) ∈ C

²

avec z + it 6= 0, on obtient :



 



 

 max

Z

I

h

α,β

(z)e

^ixz

dz ,

Z

VII

h

α,β

(z)e

^ixz

dz

≤ he

^π=m(α+β)

R

^<e(α+β)

max

Z

II

h

_α,β

(z)e

^ixz

dz ,

Z

VI

h

_α,β

(z)e

^ixz

dz

≤ e

^π=m(α+β)

<e (α + β) − 1

e

^−hx

A

^{<e(α+β)−1}

,

d’o` u lim

h−→+∞

lim

R−→+∞

Z

I∪II∪VI∪VII

h

_α,β

(z)e

^ixz

dz = 0.

De plus, t −→ e

^−xt+iεAx

(εA + i(t + y))

^α

(εA + i(t − y))

^β

est int´ egrable sur [y

0

; +∞[ pour ε ∈ {−1; +1}, car pour t ≥ y

0

,

e

^−xt+iεAx

(εA + i(t + y))

^α

(εA + i(t − y))

^β

≤ e

^π=m(α+β)

A

^<e(α+β)

e

^−xt

, d’o` u



 



 



h−→+∞

lim lim

R−→+∞

Z

III

h

α,β

(z)e

^ixz

dz = Z

1

h

α,β

(z)e

^ixz

dz .

h−→+∞

lim lim

R−→+∞

Z

V

h

α,β

(z)e

^ixz

dz = Z

3

h

α,β

(z)e

^ixz

dz .

Enfin, lim

h−→+∞

lim

R−→+∞

Z

VIII

h

_α,β

(z)e

^ixz

dz = − Z

+∞

−∞

h

_α,β

(t)e

^ixt

dt, car H

α,β

(t)e

^ixt

≥ e

^π=m(α+β)

(t

²

+ y

²

)

^<e(α+β)2

prouve l’int´ egrabilit´ e sur R de t 7−→ h

α,β

(t)e

^ixt

.

• En conclusion, lorsque R −→ +∞, puis h −→ +∞ dans l’´ egalit´ e (2.1), on obtient Z

+∞

−∞

e

^ixz

(z + iy)

^α

(z − iy)

^β

dt = Z

1∪3

h

α,β

(z)e

^ixz

dz + Z

IV

h

α,β

(z)e

^ixz

dz

= Z

Γ

h

α,β

(z)e

^ixz

dz .

Ainsi, nous allons pouvoir estimer Z

R

e

^−2iπxt

(t + iy)

^2+s2

(t − iy)

^s2

dt pour tout r´ eel x.

Corollaire : Pour tout (x, y) ∈ R ×]0; +∞[, et pour tout s ∈ C , avec <e s > −1, on a : | H d

_s,y

(x)| =

Z

R

e

^−2iπxt

(t + iy)

^2+s2

(t − iy)

^s2

dt

≤



 

 



 

 



4 e

^{π2=m s}

e

^−π|x|y

y

^{1+<e s2}

4 3

1+^{<e s}₂

, si x 6= 0.

π

y

^{1+<e s}

, si x = 0.

D´ emonstration : • Pour x = 0, on a successivement :

H d

s,y

(0) ≤

Z

R

dt

(t + iy)

²

(t

²

+ y

²

)

^s2

≤ Z

R

dt

(t

²

+ y

²

)

^{1+<e s2}

≤ 1 y

^{<e s}

Z

R

dt t

²

+ y

²

, d’o` u le r´ esultat.

• Puisque changer x en −x revient, dans le lemme pr´ ec´ edent, ` a changer le chemin Γ en Γ

⁰

, ce qui n’a d’autre contribution que de changer x en |x| dans les majorations suivantes, nous supposerons x > 0 pour le reste de la d´ emonstration.

On a, d’apr` es le lemme pr´ ec´ edent : H d

s,y

(0) = Z

Γ

e

^−2iπxz

(z + iy )

²

(z

²

+ y

²

)

^s2

dz.

En d´ ecoupant Γ comme dans le lemme pr´ ec´ edent, on a, pour A = 1, y

0

= y 2 :



 

 

 

 

 

  Z

1∪3

e

^ixz

(z + iy)

^2+s2

(z − iy)

^s2

dz

≤ 4

y

^{1+<e s2}

e

^{π2=m s}

e

^−|x|y2

.

Z

2

e

^ixz

(z + iy)

^2+s2

(z − iy)

^s2

dz

≤ 4

y

^{1+<e s2}

4

3

^{1+<e s}₂

e

^{π2=m s}

e

^−|x|y2

.

Donc,

H d

s,y

(x)

≤ 4 e

^{π2=m s}

e

^−π|x|y

y

^{1+<e s2}

4 3

^{1+<e s}₂

.

2.2.2 Calcul de X

(m,n)∈ Z

²

−{(0,0)}

1

(mz + n) ² |mz + n| ^s pour z ∈ H et s ∈ C , <e s > 0.

Pour effectuer ce calcul, nous allons, comme annonc´ e, appliquer la formule de Poisson.

Ceci donne le lemme suivant :

Lemme : Pour tout z = x + iy ∈ H, et s ∈ C tel que <e s > 0, on a :

X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

= 2ζ(2 + s) − 2 √ π 2 + s

sζ(1 + s) y

^1+s

Γ

^s+1₂

Γ 1 +

₂^s

+ 2

+∞

X

m=1

X

n∈Z^∗

Z

R

e

^{2inπ(mx−t)}

(t + imy)

^2+s2

(t − imy)

^s2

dt

(2.2)

Rappelons que la transform´ ee de Fourier de f ∈ L

¹

( R ) est donn´ ee par la formule

∀x ∈ R , f(x) = b Z

R

f (t)e

^−2iπxt

dt. On note aussi, pour y > 0, z ∈ H et s ∈ C , <e s > 0, H

_s,y

(t) = 1

(t + iy)

^2+s2

(t − iy)

^s2

et Φ(z, s) = X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

.

D´ emonstration : Soit z = x + iy ∈ H et s ∈ C , <e s > 0.

Alors, si m ∈ N

^∗

, on a :

• H

s,my

∈ C

⁰

( R ) ∩ L

¹

( R ).

• ∃M > 0, ∀t ∈ R , |H

s,my

(t)| ≤ e

^{π=m s}

(t

²

+ m

²

y

²

)

^{2+<e s}

≤ M (1 + |t|)

³

.

• X

n∈Z

| H \

s,my

(n)| ≤ πe

^{π=m s}

(my)

^{1+<e s}

+ X

n∈Z^∗

4e

^{π=m s}

1

|n| + 1 my

e

^−πm|n|y

≤ e

^{π=m s}

π

(my)

^{1+<e s}

+ 8 my + 1 my

+∞

X

n=1

e

^−πm|n|y

!

< +∞ .

On en d´ eduit alors, d’apr` es la formule de Poisson, que : ∀m ∈ N

^∗

, X

n∈Z

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

= X

n∈Z

H

s,my

(mx + n) = X

n∈Z

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

. Ainsi, Φ(z, s) = 2ζ(2 + s) + 2

+∞

X

m=1

X

n∈Z

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

= 2ζ(2 + s) + 2

+∞

X

m=1

X

n∈Z^∗

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

+ 2

+∞

X

m=1

H \

s,my

(0).

Or, en effectuant successivement les changements de variables t = mu, puis v = −u sur la partie o` u l’on int` egre sur ] − ∞; 0], on obtient H \

s,my

(0) = 2

m

^1+s

Z

+∞

0

t

²

− y

²

(t

²

+ y

²

)

^2+s2

dt.

De mˆ eme, en effectuant successivement les changements de variables t = yu, v = u

²

, w = v + 1, et x = 1

w , on obtient : 2

Z

+∞

0

t

²

− y

²

(t

²

+ y

²

)

^2+s2

dt = 1 y

^1+s

Z

1 0

1 − 2x

√ 1 − x x

^s−12

dx

= 1

y

^1+s

β s + 1

2 , 1 2

− 2β s + 3

2 , 1 2

o` u β est la fonction b´ eta d’Euler d´ efinie pour (a, b) ∈ C

²

, avec

<e a > 0

<e b > 0 , par β(a, b) =

Z

1 0

x

^a−1

x

^b−1

dx .

En utilisant les relations

⁵

β(a, b) = Γ(a)Γ(b)

Γ(a + b) , et Γ(u + 1) = uΓ(u), valables respectivement pour (a, b) ∈ C

²

, avec

<e a > 0

<e b > 0 et pour u ∈ C , <e u > 0, ainsi que l’´ egalit´ e Γ

¹₂

= √

π, on obtient alors : H \

s,my

(0) =

√ π (my)

^1+s

Γ

^s+1₂

Γ

^s₂

+ 1

s s + 2 . D’o` u :

Φ(z, s) = 2ζ(2 + s) + 2

+∞

X

m=1

X

n∈Z^∗

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

+

√ π y

^1+s

2sζ(1 + s) s + 2

Γ

^s+1₂

Γ

₂^s

+ 1 .

5

Une preuve probabiliste est donn´ e dans J. Y. Ouvrard : Probabilit´ e 2, ´ Ed Cassini , p 64 - 65.

2.2.3 D´ efinition de la fonction G ^∗ ₂ , et propri´ et´ e.

On sait que

⁶

la fonction ζ se prolonge en une fonction holomorphe sur C − {1}, admettant un pˆ ole simple en 1 de r´ esidu 1. Ainsi, les deux premiers termes du membre de droite de l’´ egalit´ e (2.2) admettent une limite lorsque s −→ 0, avec <e s > 0, ` a savoir

π

²

3 et − π

=m z respectivement.

Pour montrer que la fonction G

^∗₂

= lim

s−→0

<e s>0

Φ(., s) est correctement d´ efinie, il ne reste plus qu’` a montrer que, pour tout z ∈ H,

+∞

X

m=1

X

n∈Z^∗

Z

+∞

−∞

e

^{2inπ(mx−t)}

(t + imy)

^2+s2

(t − imy)

^s2

dt admet une limite lorsque s −→ 0 avec <e s > 0.

Lemme : Pour tout z = x + iy ∈ H, on a :

s−→0

lim

<e s>0

+∞

X

m=1

X

n∈Z^∗

Z

+∞

−∞

e

^{2inπ(mx−t)}

(t + imy)

^2+s2

(t − imy)

^s2

dt = −4π

²

+∞

X

p=1

σ

₁

(p)e

^2ipπx

. La d´ emonstration va s’articuler en trois temps.

En premier lieu, nous montrerons que s 7−→ H [

s,my

(n) d´ efinit une fonction holomorphe sur {z ∈ C ; <e z > −1} pour tout (m, n) ∈ N

^∗

× Z

^∗

et tout y > 0 ; ceci permettra d’affirmer que lim

s−→0

<e s>0

H [

_s,my

(n) = H [

_0,my

(n). Dans un second temps, nous montrerons la convergence uniforme de la somme double, grˆ ace ` a l’estimation donn´ ee par le corollaire de la page 16, d’o` u la permutation de la limite avec la somme double. Il ne restera plus qu’` a conclure, grˆ ace au calcul de

Z

R

e

^2iπxt

(t + iy)

²

dt effectu´ e page 10.

D´ emonstration : • Soient m ∈ N

^∗

, n ∈ Z et y > 0, et notons Ω = {z ∈ C ; <e z > −1}.

Alors : ∀s ∈ Ω, t 7−→ e

^−2inπt

(t − imy)

²

(t

²

+ m

²

y

²

)

^s2

est mesurable.

∀t ∈ R , t 7−→ e

^−2inπt

(t − imy)

²

(t

²

+ m

²

y

²

)

^s2

∈ H(Ω).

t 7−→ 1

t

²

+ m

²

y

²

∈ L

¹

( R ).

si K d´ esigne un compact de Ω, on a pour tout s ∈ Ω :

e

^−2inπt

(t − imy)

²

(t

²

+ m

²

y

²

)

^s2

= 1

(t

²

+ m

²

y

²

)

^2s

≤ 1 t

²

+ m

²

y

²

.

Ainsi, d’apr` es le th´ eor` eme d’holomorphie sous le signe int´ egral, s 7−→ H \

s,my

(n) ∈ H(Ω).

En particulier : ∀(m, n) ∈ N

^∗

× Z

^∗

, ∀y > 0, lim

s−→0

<e s>0

H \

s,my

(n) = H \

0,my

(n).

• De plus, d’apr` es l’estimation donn´ ee par le corollaire page 2.2.1, pour tout m ∈ N

^∗

, z = x + iy ∈ H, n ∈ N

^∗

et s ∈ C ,

<e s > 0

|s| ≤ 1 , on a :

X

n∈Z−[[−N ; N ]]

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

≤ 16e

^π

my

e

^−Nmπy

1 − e

^−Nmπy

.

6

Pour une d´ emonstration voir [7], p 15 - 16.

Ceci prouve la convergence uniforme de la s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

n∈Z^∗

sur {z ∈ C ; <e z > 0, |z| ≤ 1}.

En particulier, d’apr` es le th´ eor` eme de limite termes ` a termes d’une s´ erie de fonctions, on obtient :

s−→0

lim

<e s>0

X

n∈Z^∗

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

= X

n∈Z^∗

s−→0

lim

<e s>0

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

= X

n∈Z^∗

H \

0,my

(n)e

^2imnπx

.

De mˆ eme, l’estimation

+∞

X

m=M

X

n∈Z^∗

H \

s,my

(n)e

^2imnπx

≤ 16e

^π

y

+∞

X

m=M

1

e

^mπy

− 1 , valable pour M ∈ N

^∗

et z = x + iy ∈ H montre la convergence uniforme de la s´ erie de fonc- tions de terme g´ en´ eral X

n∈Z^∗

H \

_s,my

(n)e

^2imnπx

!

m∈N^∗

sur {z ∈ C ; <e z > 0, |z| ≤ 1}, d’o` u en particulier :

s−→0

lim

<e s>0

X

m∈N^∗

X

n∈Z^∗

H \

_s,my

(n)e

^2imnπx

= X

m∈N^∗

s−→0

lim

<e s>0

X

n∈Z^∗

H \

_s,my

(n)e

^2imnπx

!

= X

m∈N^∗

X

n∈Z^∗

H \

_0,my

(n)e

^2imnπx

.

• Enfin, pour conclure, calculons H \

0,my

(n) pour y > 0 et (m, n) ∈ N

^∗

× Z

^∗

.

D’apr` es le calcul de la transform´ ee de Fourier effectu´ e page 10, on a :

∀y > 0, Z

R

e

^−2iπxt

(t + iy)

²

dt =

0 si x ≤ 0

−4π

²

xe

^−2πxy

si x > 0 . Donc :

H \

0,my

(n) = Z

R

e

^−2iπnt

(t − imy)

²

dt =

Z

R

e

^{−2iπ(−n)t}

(t + imy)

²

dt =

0 si x ≥ 0.

4π

²

ne

^−2mnπy

si x < 0.

Ainsi : X

m∈N^∗

X

n∈Z^∗

H \

0,my

(n)e

^2imnπx

=

+∞

X

m=1

−1

X

n=−∞

4π

²

ne

^−2mnπy

e

^2imnπx

= −4π

²

+∞

X

m=1 +∞

X

n=1

ne

^−2imnπz

= −4π

²

+∞

X

p=1

σ

₁

(p)e

^−2ipπz

.

Ceci finit de d´ emontrer le lemme.

En rassemblant tous les r´ esultats interm´ ediaires de ce paragraphe, on en d´ eduit donc que pour tout z ∈ H, lim

s−→0

<e s>0

Φ(z, s) existe, et vaut π

²

3 − 8π

²

+∞

X

p=1

σ

1

(p)e

^−2ipπz

− π

=m z ,

d’o` u la d´ efinition - propri´ et´ e suivante :

D´ efinition - Propri´ et´ e : La fonction G

₂^∗

: H −→ C d´ efinie pour tout z ∈ H par : G

₂^∗

(z) = lim

s−→0

<e s>0

X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

est correctement d´ efinie, et v´ erifie pour tout z ∈ H :

G

^∗₂

(z) = G

₂

(z) − π

=m z .

D´ esormais, nous allons pouvoir constater ce que l’on a gagn´ e et perdu, par rapport

`

a la d´ efinition de G

₂

: G

^∗₂

n’est pas holomorphe, mais v´ erifie la condition de modularit´ e de poids 2 sous l’action de SL

₂

( Z ).

Propri´ et´ e : 1. G

^∗₂

n’est pas une fonction holomorphe sur H.

2. ∀

a b c d

∈ SL

₂

( Z ), ∀z ∈ H, G

^∗₂

az + b cz + d

= (cz + d)

²

G

^∗₂

(z).

D´ emonstration : 1. On a vu que G

2

est holomorphe sur H.

Seulement z 7−→ =m z ne l’est pas, puisque ∂ Imz

∂z = i 2 6= 0.

2. Soit γ =

a b c d

∈ SL

2

( Z ).

Alors, pour tout z ∈ H et tout s ∈ C tels que <e s > 0, on a successivement, en notant toujours Φ(z, s) = X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

: Φ(γ.z, s) = Φ

az + b cz + d , s

= X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

(cz + d)

²

|cz + d|

^s

(m(az + b) + n(cz + d))

²

|m(az + b) + n(cz + d)|

^s

. Or,

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

est une famille sommable pour tout s ∈ C tel que <e s > 0.

Donc, par la transformation

m

⁰

=ma + nc n

⁰

=mb + nd , ie

m=m

⁰

d − n

⁰

c

n =m

⁰

a + n

⁰

b , on obtient :

Φ(z, s) = X

(m⁰,n⁰)∈Z²−{(0,0)}

1

(m

⁰

z + n

⁰

)

²

|m

⁰

z + n

⁰

|

^s

= X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

((ma + nc)z + (mb + nd))

²

|(ma + nc)z + (mb + nd)|

^s

, d’o` u Φ(γ.z, s) = (cz + d)

^2+s

φ(z, s).

Ainsi, par passage ` a la limite, on obtient G

^∗₂

(γ.z) = (cz + d)

²

G

^∗₂

(z).

De la condition de modularit´ e de poids 2, sous l’action de SL

₂

( Z ), appliqu´ ee

`

a la fonction G

^∗₂

, on d´ eduit la transformation de G

₂

sous l’action de SL

₂

( Z ) : Corollaire : ∀γ ∈

a b c d

, ∀z ∈ H, G

₂

az + b cz + d

= (cz + d)

²

G

₂

(z) − 2iπc(cz + d).

D´ emonstration : Soit z ∈ H, et ∀γ ∈

a b c d

. On a alors : =m (γ.z) = =m z

|cz + d|

²

. Les deux relations

( G

^∗₂

(γ.z) = (cz + d)

²

G

^∗₂

(z) G

^∗₂

(z) = G

2

(z) − π

=m z

conduisent alors au r´ esultat.

2.3 Fonctions E ₂ et E ₂ ^∗ .

De mˆ eme que nous divisons G

_2k

par 2ζ(2k), pour k ∈ N , k ≥ 2, afin d’avoir un developpement ` a l’infini commen¸cant par le terme 1, nous allons aussi diviser G

₂^∗

par 2ζ(2) = π

²

3 :

Notations : • Pour k ∈ {2; 3; 4}, notons E

_2k

= G

_2k

2ζ (2k)

• E

₂^∗

= G

₂

2ζ(2) = 3G

₂

π

²

On peut donc r´ esumer les r´ esultats ´ etablis dans ce chapitre, en terme de fonctions E

₂

et E

₂^∗

comme suit :

Propri´ et´ e : • La fonction E

₂

v´ erifie :

∀τ ∈ H, E

₂

(τ ) = 1 − 24

+∞

X

p=1

σ

₁

(p)e

^2ipπτ

.

∀γ ∈

a b c d

, ∀z ∈ H, E

₂

2

γ

(z) = E

₂

(z) − 6i π

c cz + d .

• La fonction E

₂^∗

d´ efinie par lim

s−→0

<e s>0

3 π

²

X

(m,n)∈Z²−{(0,0)}

1

(mz + n)

²

|mz + n|

^s

v´ erifie : ∀z ∈ H, E

₂^∗

(z) = E

₂

(z) − 3

π=m z .

∀γ ∈ SL

₂

( Z ), E

₂^∗

2

γ

= E

₂^∗

(z).

Formes modulaires presque holomorphes et formes

quasi-modulaires.

Nous avons vu au chapitre pr´ ec´ edent qu’il ´ etait naturel de consid´ erer les fonctions E

₂

et E

^∗₂

. Malheureusement, celles-ci ne r´ epondent pas ` a tous les axiomes v´ erifi´ es par les formes modulaires classiques, ` a savoir la condition de modularit´ e

¹

et holomorphie sur H.

Nous allons voir comment il est possible d’affaiblir la d´ efinition d’une forme modulaire afin que les fonctions E

₂

et E

^∗₂

soient les exemples typiques des «formes modulaires affaiblies».

3.1 Introduction des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presques holomorphes.

3.1.1 Motivations.

Lorsque l’on regarde diff´ erentes d´ emonstrations

²

de transcendance du nombre e, on voit que le fait que exp

⁰

= exp est tr` es important, puisqu’il montre que l’ensemble des exponentielles polynˆ omes est stable par d´ erivation.

Dans le mˆ eme ordre d’id´ ee, on aimerait bien avoir un op´ erateur diff´ erentiel laissant stable l’ensemble M(Γ) = M

k∈N

M

_k

(Γ) des formes modulaires, o` u Γ est un sous-groupe de congruence de SL

₂

( Z ). Or, un calcul simple montre que si f ∈ M

_k

et α ∈ SL

₂

( Z ), alors, pour tout z ∈ H, on a

(f

⁰

k+2

α)(z) = f

⁰

(z) + kc

cz + d f (z) (3.1)

Ceci empˆ eche alors f

⁰

d’ˆ etre une forme modulaire d` es que f 6∈ M

₀

: dans le cas contraire, on aurait, pour un certain l ∈ N , (f

⁰

l

α) = f

⁰

pour tout α ∈ Γ, ce qui impliquerait que, pour tout z ∈ H, le polynˆ ome (z + X)

^l

− (z + X)

^k+2

f

⁰

(z) − k(z + X)

^k+1

f(z) serait le polynˆ ome nul, ie f serait constante, ce qui n’est pas.

Ainsi, la d´ erivation usuelle ne laisse pas stable l’ensemble des formes modulaires.

1

D´ efinition : Etant donn´ e k ∈ N et H un sous-groupe de SL

₂

( Z ), on dira qu’une fonction f : H −→ C v´ erifie la condition de modularit´ e de poids k relativement ` a H lorsque ∀α ∈ H, (f

k

α) = f .

Si H = SL

₂

( Z ), on parlera plus simplement de condition de modularit´ e de poids k.

2

T. Schneider : Introduction aux nombres transcendants, chap. 2, §2, Ed Gauthier-Villars, 1959.

De plus, la formule (3.1) fait penser ` a la relation de transformation de E

₂

:

∀z ∈ H, ∀α =

a b c d

∈ SL

₂

( Z ), (E

₂

k

α)(z) = E

₂

(z) + 6 iπ

c

cz + d . On veut ´ evidemment grossir l’alg` ebre des formes modulaires de mani` ere ` a ce qu’elle reste une alg` ebre, d’o` u l’id´ ee d’affaiblir la condition de modularit´ e en (f

k

α)(z) =

r

X

i=0

f

i

(z) c

cz + d

i

pour un certain r ∈ N , certaines fonctions f

₀

, · · · , f

_r

holomorphes sur H et pour tout α =

a b c d

∈ SL

₂

( Z ) et tout z ∈ H.

Ceci donne les formes quasi-modulaires introduite par D. Zagier.

D’un autre cot´ e, on peut aussi affaiblir la condition d’holomorphie plutˆ ot que la condition de modularit´ e. La d´ efinition de E

^∗₂

et le cahier des charges sugg` erent alors d’affaiblir la condition d’holomorphie ainsi : il existe r ∈ N , il existe des fonctions f

₀

, · · · , f

_r

holomorphes sur H tels que pour tout z ∈ H, f(z) =

r

X

i=0

f

_i

(z) (z − z)

ⁱ

.

Ceci donne les formes modulaires presques holomorphes, consid´ er´ ees par G. Shimura.

3.1.2 D´ efinitions et premiers exemples.

Commen¸cons par rappeler la d´ efinition d’une forme modulaire, afin de pouvoir consta- ter plus facilement l’affaiblissement des deux d´ efinitions suivantes :

D´ efinition 0 :

Soit k ∈ N et Γ un sous-groupe de congruence de SL

2

( Z ).

Une fonction f : H −→ C est appel´ ee une forme modulaire, de poids k, relativement ` a Γ lorsque :

• f est holomoprhe sur H

• ∀γ ∈ Γ, f

k

γ

= f .

• si h = inf

n ∈ N ;

1 n 0 1

∈ Γ

, alors f

k

α

admet un d´ eveloppement de Fourier du type :

∀z ∈ H, f

k

α (z) =

+∞

X

n=0

a

_n

e

^{2inπh z}

( f est holomorphe aux pointes.)

On a les d´ efinitions suivantes de formes quasi-modulaires, et de formes modulaires presque holomorphes.

D´ efinition 1 : Soit (k, l) ∈ Z × N et Γ un sous-groupe de congruence de SL

₂

( Z ).

Une fonction f : H −→ C est appel´ ee une forme quasi-modulaire, de poids k, relativement ` a Γ s’il existe des fonction f

₀

, · · · , f

_l

holomorphes sur H telles que :

1. f est holomorphe sur H.