MATH´ EMATIQUES 2

SESSION 2001 MP006 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SP ´´ ECIFIQUE - FILI `ERE MP

MATH´ EMATIQUES 2

DUR ´EE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanum´eriques sont autoris´ees, sous r´eserve des conditions d´efinies dans la circulaire n99-186 du 16/11/99.

UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´efinitions :

Dans tout le probl`eme K d´esigneR ouC etnest un entier naturel.

Siuest un endomorphisme d’unK-espace vectorielE, on noteu⁰ =id_E et∀n∈N, uⁿ⁺¹=uⁿ◦u.

On note Kn[X] la K-alg`ebre des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, M_n(K) la K-alg`ebre des matrices carr´ees de taille n `a coefficients dans K de matrice unit´e In et GLn(K) le groupe des matrices inversibles deM_n(K) ; les ´el´ements de M_n(K) sont not´esM = (m_i,j).

Pour une matrice A de M_n(K), on note ^tA la transpos´ee de la matrice A, rg(A) son rang, χA = det (A−XIn) son polynˆome caract´eristique et Sp (A) l’ensemble de ses valeurs propres.

SiP =Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a₁X+a₀ est un polynˆome unitaire deK_n[X] on lui associe

lamatrice compagnonCP =

















0 0 . . 0 −a₀ 1 0 . . 0 −a₁ 0 1 0 . 0 −a₂ . . . . 0 . 0 1 0 −a_n−2 0 . . 0 1 −an−1

















∈ M_n(K)

(c’est-`a-dire la matriceC_P = (c_i,j) est d´efinie parc_i,j = 1 pouri−j = 1, c_i,n=−ai−1 etc_i,j = 0 dans les autres cas).

Les parties II. III. et IV. utilisent les r´esultats de la partie I. et sont ind´ependantes entre elles.

I. Propri´ et´ es g´ en´ erales

Dans cette partie on consid`ere le polynˆomeP =Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a1X+a0 de Kn[X] etCP

sa matrice compagnon associ´ee.

1. Montrer queCP est inversible si et seulement si P(0)6=0.

2. Calculer le polynˆome caract´eristique de la matrice C_P et d´eterminer une constante k telle que χCp =kP.

3. SoitQun polynˆome deK_n[X], d´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’il existe une matriceAde M_n(K) telle que χA=Q.

4. On note^tC_P la transpos´ee de la matrice C_P. (a) Justifier la proposition : Sp (CP) = Sp ^tCP

. 1

(b) Soitλ´el´ement de Sp ^tCP

, d´eterminer le sous-espace propre de ^tCP associ´e `a λ.

(c) Montrer que ^tCP est diagonalisable si et seulement si P est scind´e sur K et a toutes ses racines simples.

(d) On suppose quePadmetnracinesλ1,λ2, . . .,λndeux `a deux distinctes, montrer que^tCP est

diagonalisable et en d´eduire que le d´eterminant de Vandermonde

1 1 . . 1

λ₁ λ₂ . . λ_n λ²₁ λ²₂ . . λ²_n

. . . . .

λⁿ⁻¹₁ λⁿ⁻¹₂ . . λⁿ⁻¹_n est non nul.

5. Exemples :

(a) D´eterminer une matrice A (dont on pr´ecisera la taille n) v´erifiant : A²⁰⁰² =A²⁰⁰¹+A²⁰⁰⁰+ 1999I_n.

(b) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E v´erifiant : fⁿ⁻¹6=0 et fⁿ = 0 ; montrer que l’on peut trouver une base de E dans laquelle la matrice def est une matrice compagnon que l’on d´eterminera.

II. Localisation des racines d’un polynˆome

Soit A= (ai,j) une matrice de M_n(C), on pose pour tout entier 16i6n: r_i=

n

P

j=1

|a_i,j|etD_i={z∈C,|z|6r_i}.

Pour X=







 x1

x₂ . xn









∈ M_n,1(C), on note kXk_∞= max

16i6n|x_i|.

6. Soitλ∈Sp (A) et X =







 x1

x₂ . xn









un vecteur propre associ´e `a λ.

Montrer que pour tout entier 16i6n:|λx_i|6r_ikXk_∞. 7. D´emontrer que Sp (A)⊂

n

S

i=1

Dk.

8. SoitP =Xⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a1X+a0un polynˆome deC[X], ´etablir que toutes les racines deP sont dans le disque ferm´e de centre 0 et de rayonR= max{|a₀|,1 +|a₁|,1 +|a₂|, . . .,1 +|a_n−1|}.

9. Application :

Soita,b,cetdquatre entiers naturels distincts et non nuls, montrer que l’´equation d’inconnue n:

n^a+n^b =n^c+n^d n’admet pas de solution surN\ {0,1}.

III. Suites r´ecurrentes lin´eaires

On note E =C^N l’espace vectoriel des suites de complexes et si u est une suite de E, on ´ecrira u(n) `a la place de un pour d´esigner l’image den paru.

On consid`ere le polynˆome P =X^p+ap−1X^p−1+. . .+a₀ de C[X] avec a₀6=0 et on lui associe le sous-espace vectorielF de E form´e des ´el´ements uv´erifiant la relation :

∀n∈N:u(n+p) =−a_p−1u(n+p−1)−. . .−a0u(n).

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10. Montrer que siλest racine de P alors la suite n7→λⁿest ´el´ement deF.

11. Soitϕ l’application de F vers C^p d´efinie par :u7→(u(0), u(1), . . ., u(p−1)), montrer queϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels. Quelle est la dimension deF?

12. Pour tout entier 06i6p−1 on d´efinit les ´elements e_i de F par : e_i(i) = 1 et, lorsque 06j6p−1 et j6=i,e_i(j) = 0.

(a) D´eterminer pour 06i6p−1 e_i(p).

(b) Montrer que le syst`eme de vecteurs (e0, e1, . . ., ep−1) est une base deF. (c) Soit u un ´el´ement deF, ´etablir queu=

p−1

P

i=0

u(i)ei.

13. Siu est un ´el´ement deE, on d´efinit l’´el´ementf(u) deE par : f(u) :n7→u(n+ 1). Montrer que l’applicationf ainsi d´efinie est un endomorphisme deE et que F est stable parf.

14. Sigest l’endomorphisme deF induit parf, montrer que la matrice degdans la base (e₀, e₁, . . ., ep−1) est^tCP.

15. On suppose queP admetp racines non nulles et deux `a deux distinctes :λ0,λ1, . . .,λp−1. (a) D´eterminer une base de F form´ee de vecteurs propres deg.

(b) En d´eduire que, si u est ´el´ement de F, il existe des constantes complexesk0,k1, . . ., kp−1

telles que :∀n∈N, u(n) =k0λⁿ₀ +k1λⁿ₁ +. . .+kp−1λⁿ_p−1. 16. Exemple : (On revient `a la notation usuelleun)

Soita,bet ctrois r´eels distincts.

D´eterminer une base de l’espace vectoriel des suites d´efinies par u₀,u₁ etu₂ et par la relation de r´ecurrence valable pour toutn∈N:

un+3= (a+b+c)un+2−(ab+ac+bc)un+1+abc.

IV. Matrices v´erifiant : rg(U−V) = 1

Dans cette partie, pour une matriceA, on noteraCAla matrice compagnon du polynˆome (−1)ⁿχA. 17. Une matriceA est-elle n´ecessairement semblable `a la matrice compagnonCA?

Pour tout couple (U, V) de matrices de GLn(K), on consid`ere les deux propositions suivantes, que l’on identifie chacune par un symbole :

(*) : rg(U −V) = 1

(**) : Il existe une matrice inversibleP telle queU =P⁻¹CUP etV =P⁻¹CVP. 18. Montrer qu’un couple (U, V) de matrices distinctes de GLn(K) v´erifiant (**) v´erifie (*).

19. D´eterminer un couple (U, V) de matrices de GL2(K) (n= 2) v´erifiant (*) mais ne v´erifiant pas (**) et d´eterminer le plus grand commun diviseur des polynˆomesχ_U et χ_V.

Dans la suite de cette partie, (U, V) est un couple de matrices de GL_n(K) v´erifiant (*) et tel queχ_U et χ_V sont deux polynˆomes premiers entre eux.

Soit E un K-espace vectoriel de dimensionn et de base B, on d´esigne par u et v les automor- phismes deE tels queU (respectivementV) soit la matrice deu(respectivementv) dans la base B.

Enfin on poseH = Ker(u−v).

20. Montrer queH est un hyperplan vectoriel de E.

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21. SoitF6={0} un sous-espace vectoriel deE stable paru et parv c’est-`a-dire : u(F)⊂F et v(F)⊂F.

On noterau_F (respectivement v_F) l’endomorphisme induit par u (respectivementv) sur F.

On rappelle queχ_uF diviseχ_u.

(a) Montrer queF n’est pas inclus dansH.

(b) On suppose queF6=E, montrer queF+H =E puis que l’on peut compl´eter une base B_F de F par des vecteurs deH pour obtenir une base B⁰ de E. En utilisant les matrices deu etv dans la base B⁰ montrer que l’on aboutit `a une contradiction.

(c) Quels sont les seuls sous-espaces stables `a la fois par u et parv? 22. Pourj ∈N, on noteGj =

x∈E, u^j(x)∈H .

(a) Montrer que les sous-espacesGj sont des hyperplans vectoriels deE.

(b) Montrer que

n−2

T

j=0

Gj6={0}.

(c) Soit y un vecteur non nul de

n−2

T

j=0

G_j, on pose pour 06j6n−1 : e_j =u^j(y).

Montrer queB⁰⁰= (e0, e1, . . ., en−1) est une base deE.

(On pourra consid´ererF = Vect

y, u(y), . . ., u^p−1(y) o`upest le plus grand entier naturel non nul pour lequel la famille y, u(y), . . ., u^p−1(y)

est libre).

(d) Montrer que la matrice deu (respectivementv) dansB⁰⁰ est C_U (respectivement C_V).

(e) Conclure.

23. Application :

Soitu etv deux automorphismes d’un K-espace vectorielE de dimensionnv´erifiant : rg(u−v) = 1,χu(X) = (−1)ⁿ(Xⁿ+ 1) etχv(X) = (−1)ⁿ(Xⁿ−1).

En utilisant une action de groupe, montrer que le groupe engendr´e paruetv est fini de cardinal inf´erieur ou ´egal `a (2n)!.

Fin de l’´enonc´e.

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