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Groupe Math´ematiques-Economie 2

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Academic year: 2022

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UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 4

A rendre lundi 23 octobre 2006.

Exercice 1

On consid`ere l’ensemble K := {0, 1} muni des deux op´erations suivantes.

0 1

0 0 1

1 1 0

¯ 0 1

0 0 0

1 0 1

Montrer que (K, ⊕, ¯) est un corps.

Exercice 2

Donner toutes les solutions dans Z du syst`eme d’´equations suivant:

x 1 [27]

x 13 [17].

Exercice 3

Montrer que pour tout n N, on a

10

6n

+ 10

3n

2 [111].

Exercice 4

a) A l’aide d’un tableau de congruences, montrer que pour tout a Z, a

2

6≡ 2 [5].

b) Soit a Z. Montrer que a

2

est congru `a 0, 1 ou 4 modulo 8.

c) Montrer que pour tout a, b, c Z, on a

a

2

+ b

2

+ c

2

6≡ 7 [8].

1

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