Groupe Math´ematiques-Economie 2

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UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 10

A rendre lundi 11 d´ ecembre 2006.

Exercice 1

Soit M = (m

i,j

)

i,j=1,...,n

∈ M

n

( C ) une matrice n × n ` a co´efficients complexes.

On d´efinit la matrice conjug´ee M ∈ M

n

( C ) par

(M)

i,j

:= m

i,j

∀ i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n.

On consid`ere la matrice M ∈ M

²

C tel que

M =

i

√2 1

√2 i

√2

!

Calculer

^t

M M et M

^t

M. Qu’est-ce qu’on peut d´eduire sur M et

^t

M ?

Exercice 2

Pour tout nombre r´eel t, on pose

R(t) :=







e

^t

2te

^t

(t

²

− 4t)e

^t

2 + 2(t − 1)e

^t

0 e

^t

te

^t

e

^t

− 1

0 0 e

^t

0 0 0 0 1







a) Montrer qu’on a R(t) · R(s) = R(s + t) pour tout s, t ∈ R .

b) En d´eduire que pour tout t ∈ R , la matrice R(t) est inversible et calculer son inverse (indication : commencer par regarder R(0)).

Exercice 3

On consid`ere la matrice M ∈ M

²,3

R tel que

M =

2 0 1

1 1 1

Trouver toutes les matrices Q ∈ M

³,2

R tel que M Q = I

2

.

1

(2)

Trouver toutes les matrices R ∈ M

3,2

R tel que RM = I

3

.

Exercice 4

a) Soit K un corps et (y

1

, y

2

) ∈ K

²

arbitraire. On considère le système d’équations ` a deux variables

ax

1

+ bx

2

= y

1

cx

1

+ dx

2

= y

2

o` u a, b, c, d ∈ K sont des paramètres. Montrer que ce système a une solution unique si et seulement si ad − bc 6= 0 (indication: traiter d’abord le cas a = 0, pour le cas a 6= 0 on pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss pour se ramener ` a un système ` a échelons).

b) On consid`ere la matrice M ∈ M

²

K tel que

M =

a b c d

Montrer que M est inversible dans M

2

K si et seulement si ad − bc 6= 0.

Exercice 5

On travaille sur le corps K = Z /5 Z .

a) Dresser le tableau de multiplication de K = Z /5 Z .

b) Calculer les solutions dans K du syst`eme d’´equations suivant.

¯ 3x

1

+ x

2

= ¯ 4

¯ 2x

¹

+ ¯ 3x

²

= ¯ 0.

c) Soit P = X

³

+ X

²

+ ¯ 2X + ¯ 2 ∈ K[X ] et Q = X + ¯ 2 ∈ K[X ]. Faire la division euclidienne de P par Q.

Montrer que X + ¯ 1 ∈ K[X ] divise P . Calculer les racines de P dans K. Donner la d´ecomposition de P en facteurs irr´eductibles.

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