Universit´e Paris XII, Licence L2 2008-2009 Lundi 24 novembre 2008 1
Math´ematiques Contrˆole Continu N˚2
Gwenn PARENT
TD N˚10
Calculatrices, documents et formulaires sont interdits. Vous disposez d’une heure.
L’interrogation est not´ee sur 20 points.
Exercice 1 : (2 points)
L’ensembleE1={(x, y)∈R2 |2x−y= 0} est-il un sous-espace vectoriel deR2?
Exercice 2 : (12 points)
Soientβ = (e1, e2, e3) la base canonique deR3etf l’application lin´eaire dontM est la matrice repr´esentative dans la baseβ :
M =
1 1 −2
2 −1 1
1 3 −1
.
1. Ecrire l’application lin´eairef dans la base canonique.
2. CalculezKer(f).
3. Rappelez le th´eor`eme du rang.
4. L’applicationf est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Soit ´egalementβ0 = (v1, v2, v3) la famille de vecteurs deR3 d´efinie par :
v1=e2+e3
v2=e1+e3
v3=e1+e2
5. Montrez queβ0 est une base deR3 et d´eterminez la matrice de passage deβ `a β0. 6. En d´eduire la matriceN repr´esentative def dans la baseβ0.
7. Exprimezf(v1),f(v2) et f(v3) en fonction de v1, v2 etv3.
8. Quelles sont les coordonn´ees du vecteurw= (0,1,−1) dans la base (v1, v2, v3) ? En d´eduire une expression dewen fonction de v1, v2 etv3.
Exercice 3 : (6 points)
Soit la matrice :A=
3 4 −4
−2 −1 2
−2 0 1
1. Calculez les valeurs propres et les vecteurs propres de la matriceA.
2. La matrice A est-elle diagonalisable ? Si oui, explicitez la matrice diagonale D semblable `a A (`a partir des valeurs propres de A), ainsi que la matrice de passage correspondante (`a partir des vecteurs propres associ´es `a chaque valeur propre deA).
