Groupe Math´ematiques-Economie 2

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 7

A rendre lundi 20 novembre 2006.

Exercice 1

a) Trouver les racines complexes du polynˆ ome X

− (3 + 4 i ) X − 1 + 7 i . b) Montrer que X

− 2 n’a pas de racine dans Q.

c) Le polynˆ ome X

− 2 est-il un polynˆ ome irr´eductible de Q[ X ] ?

Exercice 2

a) Soit P ∈ R [ X ] un polynˆ ome et notons R le reste de la division euclidienne de P par X

+ 1. On consid`ere P et R comme des application de C vers C.

Montrer que R ( i ) = P ( i ). En d´eduire que X

+ 1 divise P si et seulement si P ( i ) = 0.

b) Pour quels entiers positifs n le polynˆ ome X

+1 est-il un multiple de X

+1 ? On travaille maintenant dans l’anneau de polynˆ omes C[ X ].

c) Montrer que X

+ X

et X

− X + 1 n’ont pas de racine commune.

d) Montrer que les polynˆ omes X

+ X

et X

− X + 1 sont premiers entre eux.

Exercice 3

a) Trouver la d´ecomposition de X

+ 1 en produit de polynˆ omes irr´eductibles et unitaires de R[ X ].

b) Montrer que X

+ 1 est un polynˆ ome irr´eductible dans Q[ X ].

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