• Aucun résultat trouvé

Groupe Math´ematiques-Economie 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Groupe Math´ematiques-Economie 2"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 6

A rendre lundi 13 novembre 2006.

Exercice 1

Soit K un corps et soient P et Q des polynˆ omes dans K[X]. Supposons que pour tout u ∈ K

, on a u + u 6= 0.

a) Montrer que si les polynˆ omes P + Q et P − Q sont constants, alors P et Q sont constants.

b) On suppose que le polynˆ ome P

2

− Q

2

est constant et non nul. Montrer que les polynˆ omes P et Q sont constants. Qu’est ce qu’on peut dire si on suppose que P

2

− Q

2

est nul ?

Exercice 2

Effectuer la division euclidienne de A par B.

a) K = Q, A = 2X

4

− 3X

3

+ 4X

2

− 5X + 6 et B = X

2

− 3X + 1.

b) K = Q, A = X

4

+ 1 et B = 2X + 3.

c) K = C, A = X

3

− iX

2

− X et B = X − 1 + i.

Exercice 3

On travaille dans l’anneau de polynˆ omes Q[X ].

a) Montrer que les polynˆ omes X

4

+ 1 et X

3

+ 1 sont premiers entre eux.

b) Trouver tous les polynˆ omes U et V de Q[X] tels que (X

4

+ 1)U − (X

3

+ 1)V = 2.

c) Trouver tous les polynˆ omes P ∈ Q [X] tels que X

4

+ 1 divise P et X

3

+ 1 divise P − 2.

1

Références

Documents relatifs

De plus, les s´ eries de Fourier sont aussi un outil pour r´ ealiser l’analyse de Von Neumann des EDP, afin d’obtenir des conditions CFL assurant la stabilit´ e L 2 du sch´ emaI.

Ecrire une fonction orthogonalisation, prenant en entr´ ee une liste de vecteurs dans un espace V (pas n´ ecessairement R n ) ainsi qu’un produit scalaire (une fonction de V ×V dans

Ce d´ eveloppement est relativement facile mais il est tout ` a fait possible de le pr´ esenter ` a l’oral sans en rougir, d’autant qu’il utilise beaucoup de propri´ et´ es ´

Si A est un anneau principal, tout ´ el´ ement irr´ eductible est premier, et donc les notions d’´ el´ ement premier et d’´ el´ ement irr´ eductible co¨ıncident dans ce

´el´ements inversibles et donner leur inverse dans Z

[r]

[r]

[r]