Feuille d’exercices n o 2 Polynˆ omes

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Universit´ e de Lorraine UFR MIM

Calculs et math´ ematiques - L1 2013/2014

Feuille d’exercices n ^o 2 Polynˆ omes

Exercice 1 Les expressions suivantes sont-elles des polynˆ omes ? Si oui, les mettre sous forme canonique et pr´ eciser leur dergr´ e :

x + x + 3

x + 5 , x + (x + 3) ² (x + 5) , x x ² + 2x + 1 x + 1 ,

n

X

i=0

x ⁱ (x + 1) , (x + 1) ³ , (x + 1) ⁴

Exercice 2 Les probl` emes suivants peuvent se ramener ` a l’´ etude de racines de polynˆ omes.

Le montrer et expliciter le polynˆ ome en question. On ne demande pas de r´ esoudre l’´ equation ! – Trouver un r´ eel x tel que x = 1/x

– Trouver un r´ eel x tel que ^x+1 _x+2 + ^x+2 _x+3 = 0 – Trouver un complexe x tel que ₁₊ ¹

1

1+x2

= 1

– Trouver deux complexes x et y tels que y = x ² et x ³ + x ⁵ = 1 – Trouver deux r´ eels x et y tels que y = x ⁴ − 1 et y ⁶ + x ⁴ = 1 Exercice 3 Pour quelles valeurs de a le polynˆ ome

P (X) = (X + 1) ⁷ − X ⁷ − a admet-il une racine multiple r´ eelle ?

Exercice 4

– Montrer que le polynˆ ome x + 1 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x ² + 1 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x ³ + x − 2 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

Exercice 5

– Un polynˆ ome de degr´ e 8 peut-il diviser un polynˆ ome de degr´ e 6 ?

– Donner un exemple de polynˆ ome de degr´ e 6 qui divise un polynˆ ome de degr´ e 8.

Exercice 6

– Le polynˆ ome x ² − 3x + 2 divise le polynˆ ome x ³ − 4x ² + x + 2. Trouver le quotient.

– Le polynˆ ome x ² + 1 divise le polynˆ ome x ⁴ + x ³ − x − 1. Trouver le quotient.

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Exercice 7

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ³ + 2x ² + 3 par x ² − x − 1 sont x + 3 et 4x + 6 respectivement.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ³ + x ² + x + 1 par x ² + 1 sont x + 1 et 0 respectivement. En d´ eduire que x ² − x − 1 divise x ³ + 2x ² + 3.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ⁴ + x ³ − x ² − x + 1 par x ² − 4x + 1 sont x ² + 5x + 18 et 66x − 17 respectivement.

Exercice 8

– La relation : 3x ² − 1 = (x ² − 1)(x ² + 1) + (3x ² − x ⁴ ) implique t-elle que les quotients et restes de la division euclidienne de 3x ² − 1 par (x ² + 1) sont x ² − 1 et 3x ² − x ⁴ respectivement ?

– Que donne en fait la division euclidienne de 3x ² − 1 par (x ² + 1) ?

Exercice 9 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :

3X ⁵ + 4X ² + 1 par X ² + 2X + 3 3X ⁵ + 2X ⁴ − X ² + 1 par X ³ + X + 2 X ⁴ − X ³ + X − 2 par X ² − 2X + 4 X ⁶ + 2X ⁴ + X ³ + 1 par X ³ + X ² + 1 X ⁵ − 7X ⁴ − X ² − 9X + 9 par X ² − 5X + 4 Exercice 10 D´ ecomposer dans R [X] et C [X] les polynˆ omes suivants

X ³ − 1 , X ¹ 2 − 1 , X ⁴ + 1 , X ⁶ + 1 , X ⁹ + X ⁶ + X ³ + 1 .

Exercice 11 Division suivant les racines croissantes :

X ⁴ + X ³ − 2X + 1 par X ² + X + 2 ` a l’ordre 2 ,

X ⁶ + 2X ⁴ + X ³ + 1 par X ³ + X ² + 1 ` a l’ordre 4

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Feuille d’exercices n o 2 Polynˆ omes

Exercice 1 Les expressions suivantes sont-elles des polynˆ omes ? Si oui, les mettre sous forme canonique et pr´ eciser leur dergr´ e :

x + x + 3

x + 5 , x + (x + 3) 2 (x + 5) , x x 2 + 2x + 1 x + 1 ,

n

X

i=0

x i (x + 1) , (x + 1) 3 , (x + 1) 4

Exercice 2 Les probl` emes suivants peuvent se ramener ` a l’´ etude de racines de polynˆ omes.

Le montrer et expliciter le polynˆ ome en question. On ne demande pas de r´ esoudre l’´ equation ! – Trouver un r´ eel x tel que x = 1/x

– Trouver un r´ eel x tel que x+1 x+2 + x+2 x+3 = 0 – Trouver un complexe x tel que 1+ 1

= 1

– Trouver deux complexes x et y tels que y = x 2 et x 3 + x 5 = 1 – Trouver deux r´ eels x et y tels que y = x 4 − 1 et y 6 + x 4 = 1 Exercice 3 Pour quelles valeurs de a le polynˆ ome

P (X) = (X + 1) 7 − X 7 − a admet-il une racine multiple r´ eelle ?

Exercice 4

– Montrer que le polynˆ ome x + 1 ne divise pas le polynˆ ome x 4 + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x 2 + 1 ne divise pas le polynˆ ome x 4 + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x 3 + x − 2 ne divise pas le polynˆ ome x 4 + x + 1.

Exercice 5

– Un polynˆ ome de degr´ e 8 peut-il diviser un polynˆ ome de degr´ e 6 ?

– Donner un exemple de polynˆ ome de degr´ e 6 qui divise un polynˆ ome de degr´ e 8.

Exercice 6

– Le polynˆ ome x 2 − 3x + 2 divise le polynˆ ome x 3 − 4x 2 + x + 2. Trouver le quotient.

– Le polynˆ ome x 2 + 1 divise le polynˆ ome x 4 + x 3 − x − 1. Trouver le quotient.

Exercice 7

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x 3 + 2x 2 + 3 par x 2 − x − 1 sont x + 3 et 4x + 6 respectivement.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x 3 + x 2 + x + 1 par x 2 + 1 sont x + 1 et 0 respectivement. En d´ eduire que x 2 − x − 1 divise x 3 + 2x 2 + 3.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x 4 + x 3 − x 2 − x + 1 par x 2 − 4x + 1 sont x 2 + 5x + 18 et 66x − 17 respectivement.

Exercice 8

– La relation : 3x 2 − 1 = (x 2 − 1)(x 2 + 1) + (3x 2 − x 4 ) implique t-elle que les quotients et restes de la division euclidienne de 3x 2 − 1 par (x 2 + 1) sont x 2 − 1 et 3x 2 − x 4 respectivement ?

– Que donne en fait la division euclidienne de 3x 2 − 1 par (x 2 + 1) ?

Exercice 9 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :

3X 5 + 4X 2 + 1 par X 2 + 2X + 3 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1 par X 3 + X + 2 X 4 − X 3 + X − 2 par X 2 − 2X + 4 X 6 + 2X 4 + X 3 + 1 par X 3 + X 2 + 1 X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9 par X 2 − 5X + 4 Exercice 10 D´ ecomposer dans R [X] et C [X] les polynˆ omes suivants

X 3 − 1 , X 1 2 − 1 , X 4 + 1 , X 6 + 1 , X 9 + X 6 + X 3 + 1 .

Exercice 11 Division suivant les racines croissantes :

X 4 + X 3 − 2X + 1 par X 2 + X + 2 ` a l’ordre 2 ,

X 6 + 2X 4 + X 3 + 1 par X 3 + X 2 + 1 ` a l’ordre 4

Feuille d’exercices n ^o 2 Polynˆ omes

x + 5 , x + (x + 3) ² (x + 5) , x x ² + 2x + 1 x + 1 ,

x ⁱ (x + 1) , (x + 1) ³ , (x + 1) ⁴

– Trouver un r´ eel x tel que ^x+1 _x+2 + ^x+2 _x+3 = 0 – Trouver un complexe x tel que ₁₊ ¹

– Trouver deux complexes x et y tels que y = x ² et x ³ + x ⁵ = 1 – Trouver deux r´ eels x et y tels que y = x ⁴ − 1 et y ⁶ + x ⁴ = 1 Exercice 3 Pour quelles valeurs de a le polynˆ ome

P (X) = (X + 1) ⁷ − X ⁷ − a admet-il une racine multiple r´ eelle ?

– Montrer que le polynˆ ome x + 1 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x ² + 1 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

– Montrer que le polynˆ ome x ³ + x − 2 ne divise pas le polynˆ ome x ⁴ + x + 1.

– Le polynˆ ome x ² − 3x + 2 divise le polynˆ ome x ³ − 4x ² + x + 2. Trouver le quotient.

– Le polynˆ ome x ² + 1 divise le polynˆ ome x ⁴ + x ³ − x − 1. Trouver le quotient.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ³ + 2x ² + 3 par x ² − x − 1 sont x + 3 et 4x + 6 respectivement.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ³ + x ² + x + 1 par x ² + 1 sont x + 1 et 0 respectivement. En d´ eduire que x ² − x − 1 divise x ³ + 2x ² + 3.

– V´ erifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x ⁴ + x ³ − x ² − x + 1 par x ² − 4x + 1 sont x ² + 5x + 18 et 66x − 17 respectivement.

– La relation : 3x ² − 1 = (x ² − 1)(x ² + 1) + (3x ² − x ⁴ ) implique t-elle que les quotients et restes de la division euclidienne de 3x ² − 1 par (x ² + 1) sont x ² − 1 et 3x ² − x ⁴ respectivement ?

– Que donne en fait la division euclidienne de 3x ² − 1 par (x ² + 1) ?

X ³ − 1 , X ¹ 2 − 1 , X ⁴ + 1 , X ⁶ + 1 , X ⁹ + X ⁶ + X ³ + 1 .

X ⁴ + X ³ − 2X + 1 par X ² + X + 2 ` a l’ordre 2 ,

X ⁶ + 2X ⁴ + X ³ + 1 par X ³ + X ² + 1 ` a l’ordre 4