Feuille d’exercices n o 2
Mathématiques spéciales
1. Exercices basiques
a. Normes Exercice 1.
Exercice 1.
Sur E=R[X], on définit N1et N2par N1(P) =
+∞
∑
k=0
|P(k)(0)|etN2(P) = sup
t∈[−1,1]
|P(t)|. Démontrer queN1 etN2 sont deux normes surE.
Exercice 2.
Exercice 2.
SoitE=C1([0,1],R). On définit
N(f) =|f(0)|+∥f′∥∞, N′(f) =∥f∥∞+∥f′∥∞. Démontrer queN etN′ sont deux normes surE.
Exercice 3.
Exercice 3.
Soit E l’espace vectoriel des suites à valeurs dans Kconvergentes. On considère l’application
∥ · ∥définit par :
pour u= (un)∈E, ∥u∥= lim
n→∞|un|.
1. Montrer que ∥ · ∥est une semi-norme sur E i.e. ∥.∥ vérifie tous les axiomes d’une norme excepté l’axiome de séparation.
2. Donner un exemple de suite qui ne satisfait pas à l’axiome de séparation.
Exercice 4.
Exercice 4.
Dites si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si(E, N)est un espace vectoriel normé,x∈E, r >0 et B(x, r)est la boule de centrex et de rayonr >0, alors pour toutλ >0, λB(x, r) =B(x, λr).
2. N: (x, y)7→ |5x+ 3y|est une norme sur R2.
3. Soit (E,∥ · ∥)un espace vectoriel normé, et x, y deux vecteurs de E tels que ∥x+y∥ =
∥x∥+∥y∥. Alorsx∈vect(y).
4. SoitE=R1[X]. AlorsN :P 7→ |P(0)|+|P(1)| est une norme surE.
5. SiN1etN2 sont deux normes équivalentes surE, et si on noteB1={x∈E; N1(x)≤1} etB2={x∈E; N2(x)≤1}, alors il existe a, b >0tels queaB1≤B2≤bB1.
6. Soit(un)une suite de l’espace vectoriel normé(E,∥ · ∥)et soitℓ∈E. Alors(un)converge versℓ si et seulement si(∥un−ℓ∥)tend vers 0.
7. Une suite(un)de l’espace vectoriel normé(E,∥ · ∥)converge si et seulement si toute suite extraite de(un)converge.
Exercice 5.
Exercice 5.
Soit(E,∥ · ∥)un espace vectoriel normé.
1. Démontrer que, pour tousx, y∈E, on a
∥x∥+∥y∥ ≤ ∥x+y∥+∥x−y∥. En déduire que
∥x∥+∥y∥ ≤2max(∥x+y∥,∥x−y∥).
La constante2 peut elle être améliorée ?
2. On suppose désormais que la norme est issue d’un produit scalaire. Démontrer que, pour tousx, y∈E, on a
(∥x∥+∥y∥)2≤ ∥x+y∥2+∥x−y∥2. En déduire que
∥x∥+∥y∥ ≤√
2max(∥x+y∥,∥x−y∥).
La constante√
2peut elle être améliorée ?
Exercice 6.
Exercice 6.
Soienta1, . . . , an des réels et N:Rn→Rdéfinie par
N(x1, . . . , xn) =a1|x1|+· · ·+an|xn|.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur lesak pour queN soit une norme sur Rn.
Exercice 7.
Exercice 7.
SoientN1et N2deux normes sur un espace vectorielE. On poseN =max(N1, N2). Démontrer queN est une norme surE.
Exercice 8.
Exercice 8.
On définit une application surMn(R)en posant
| |
Vérifier que l’on définit bien une norme sur Mn(R), puis qu’il s’agit d’une norme d’algèbre, c’est-à-dire que
N(AB)≤N(A)N(B)pour toutes matricesA, B∈ Mn(R).
b. Boules/Distances Exercice 9.
Exercice 9.
On considère l’espace vectoriel normé(ℓ∞(R),∥ · ∥∞).
1. Déterminer la distance de la suiteuconstante en1au sous-espace vectorielc0(R)des suites à valeurs réelles convergeant vers0.
2. Déterminer la distance de la suite v= ((−1)n)n∈Nau sous-espace vectoriel Cdes suites à valeurs réelles convergentes.
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit(E,∥ · ∥)un espace vectoriel normé etx, y∈E. Démontrer quex+Bf(y, r) =Bf(x+y, r).
Remarque :x+Bf(y, r)est l’ensemble {x+z|z∈Bf(y, r)}.
2. Exercices d’entraînement
a. Normes Exercice 11.
Exercice 11.
Pour toutx= (a, b)∈R2, on définit
N(x) =√
a2+ 2ab+ 5b2. Démontrer queN est une norme surR2.
Exercice 12.
Exercice 12.
Pour A, B∈ Mn(R), on définit
⟨A, B⟩=tr(ATB).
1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire surMn(R). On noteraN la norme associée.
2. Démontrer que, pour tousA, B∈ Mn(R), on aN(AB)≤N(A)N(B).
b. Boules/Distances Exercice 13.
Exercice 13.
Soit(E,∥ · ∥)un espace vectoriel normé avecE̸={0}et x, x′∈E etr, r′ ∈R∗+. MontrerBf(x, r) =Bf(x′, r′)si, et seulement si,x=x′ et r=r′.
Indication.
Indication.
Une implication est évidente, montrer l’implication réciproque par contraposée en commençant par le cas :x=x′ etr̸=r′.
Ensuite, dans le casx̸=x′, faire un dessin ! Exercice 14.
Exercice 14.
SoitEun espace vectoriel normé. Poura∈Eetr >0, on noteB(a, r)¯ la boule fermée de centre aet de rayonr. On fixea, b∈E etr, s >0.
1. On suppose que B(a, r)¯ ⊂B(b, s). Démontrer que¯ ∥a−b∥ ≤s−r.
2. On suppose que B(a, r)¯ ∩B(b, s) =¯ ∅. Montrer que∥a−b∥> r+s.
3. Exercices d’approfondissement
a. Normes Exercice 15.
Exercice 15. g((∗∗))Les normesLes normesppsursurRRnn, pour, pour11< p << p <++∞∞
Soitn∈N∗ etp, q∈]1,+∞[tels que 1p+1q = 1.
1. Montrer que pour tousx1, ..., xn∈R+ et tousλ1, ..., λn∈R∗+, on a :
∑n
i=1
λixi≤ ( n
∑
i=1
λixpi
)1p( n
∑
i=1
λi
)1q .
2. En déduire que, pour tousa1, ..., an ∈R+ et b1, ..., bn∈R∗+, on a :
∑n
i=1
aibi≤ ( n
∑
i=1
api
)1p( n
∑
i=1
bpi )1q
;
puis montrer que cette dernière inégalité est toujours vraie quandb1, ..., bn∈R+. Cette inégalité est connue sous le nom deInégalité de Hölder.
x1, ..., xn∈R+ et y1, ..., yn∈R+ : ( n
∑
i=1
(xi+yi)p )1p
≤ ( n
∑
i=1
xpi )1p
+ ( n
∑
i=1
yip )p1
4. On considère l’espace vectorielRn et l’application de∥ · ∥p:Rn→R+ définie par : pourx= (x1, ..., xn)∈Rn, ∥x∥p =
( n
∑
i=1
|xi|p )1p
.
Montrer que∥ · ∥p est une norme surRn.
Exercice 16.
Exercice 16.
SoitAune partie non vide de R. Pour tout polynômeP ∈R[X], on pose
∥P∥A=sup
x∈A|P(x)|.
Quelles conditionsAdoit-elle satisfaire pour que l’on obtienne une norme surR[X]?
