Feuille d’exercices n 24
1. Systèmes différentiels
Exercice 1.
Exercice 1.
Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique suivant l’axe (Oz) est régi par un système différentiel de la forme
x′′ = ωy′ y′′ = −ωx′ z′′ = 0
où ω dépend de la masse et de la charge de la particule, ainsi que du champ magnétique. En posantu=x′+iy′, résoudre ce système différentiel.
Exercice 2.
Exercice 2.
Résoudre les systèmes différentiels suivants :
1.
x′ = x+ 2y−z y′ = 2x+ 4y−2z z′ = −x−2y+z
2.
x′ = y+z y′ = −x+ 2y+z z′ = x+z
Exercice 3.
Exercice 3.
Donner les solutions réelles du système différentielX′ =AXlorsque
1.A=
1 1 0
−1 2 1 1 0 1
2.A=
0 1 −1 1 4 −2 2 6 −3
.
Exercice 4.
Exercice 4.
Résoudre le système différentielX′=AX lorsque
1. A=
0 2 2
−1 2 2
−1 1 3
2. A=
−6 5 3
−8 7 4
−2 1 1
Exercice 5.
Exercice 5.
Soit A la matrice A =
a b c 0 a b 0 0 a
. Calculer exp(A). En déduire la solution générale du sytèmeX′=AX.
Exercice 6.
Exercice 6.
Résoudre les systèmes différentiels suivants : 1.
{ x′1(t) = 6x1(t) + 3x2(t)−3t+ 4e3t
x′2(t) = −4x1(t)−x2(t) + 4t−4e3t 2.
{ x′1(t) = x1(t) + 2x2(t) +t x′2(t) = −4x1(t)−3x2(t).
On donnera les solutions réelles.
2. Equations différentielles d’ordre 2
Exercice 7.
Exercice 7.
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y′′−2y′+y=x, y(0) =y′(0) = 0; 2. y′′+ 9y=x+ 1,y(0) = 0;
3. y′′−2y′+y=sin2x;
Exercice 8.
Exercice 8.
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions y(x) =C1e2x+C2e−x, C1, C2∈R. Exercice 9.
Exercice 9.
On cherche à résoudre sur R∗+ l’équation différentielle : x2y”−3xy′+ 4y= 0.(E)
1. Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ? 2. Analyse. Soity une solution de(E)surR∗+. Pourt∈R, on posez(t) =y(et).
(a) Calculer pourt∈R,z′(t)et z′′(t).
(b) En déduire que z vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser x=etdans(E)).
(c) Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
(d) En déduire le ”portrait robot” dey.
3. Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien
Rechercher les fonctions polynômes solutions de
(x2−3)y′′−4xy′+ 6y= 0.
En déduire toutes les solutions de cette équation surR.
Exercice 11.
Exercice 11.
On considère l’équation différentielle notée(E):
(t2+t)x′′+ (t−1)x′−x= 0.
1. Déterminer les solutions polynômiales de(E).
2. En déduire toutes les solutions de(E)sur]1,+∞[.
3. Reprendre le même exercice avec
x2y′′−3xy′+ 4y=x3
dont on déterminera les solutions sur]0,+∞[. On cherchera d’abord les solutions polynô- miales de l’équation homogène !
Exercice 12.
Exercice 12.
On considère l’équation différentielle
xy′′−y′+ 4x3y= 0 (E) dont on se propose de déterminer les solutions surR.
1. Question préliminaire : soient a, b, c, d4 réels etf :R∗→Rdéfinie par f(x) =
{ acos(x2) +bsin(x2) six >0 ccos(x2) +dsin(x2) six <0
A quelle condition sura, b, c, d la fonction f se prolonge-t-elle en une fonction de classe C2 sur R? On recherche les solutions de (E) qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On notex7→∑+∞
n=0anxnune telle solution, lorsqu’elle existe, et on désigne parR son rayon de convergence.
2. Montrer qu’il existe une relation de récurrence, que l’on explicitera, entrean+4 etan. 3. Pourp∈N, déterminera4p+1 et a4p+3.
4. Pour p∈ N, déterminer a4p en fonction de a0 et de p(respectivement a4p+2 en fonction dea2 etp).
5. Quel est le rayon de la série entière obtenue ? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions ”classiques”.
6. SoitS leR-espace vectoriel des applications deRdansRqui sont solutions de(E)surR.
Préciser une base deS.
Exercice 13.
Exercice 13.
Pour les équations différentielles suivantes :
1. Chercher les solutions développables en séries entières
2. Résoudre complètement l’équation sur un intervalle bien choisi par la méthode du wrons- kien
3. Résoudre l’équation surR.
1. xy′′+ 2y′−xy= 0 2. x(x−1)y′′+ 3xy′+y= 0.
3. Calcul différentiel
a. Exercices basiques Exercice 14.
Exercice 14.
1. Montrer que si xet ysont des réels, on a :
2|xy| ≤x2+y2 2. Soitf l’application de A=R2\{(0,0)} dansRdéfinie par
f(x, y) = 3x2+xy
√x2+y2.
Montrer que, pour tout(x, y)deA, on a :
|f(x, y)| ≤4∥(x, y)∥2, où∥(x, y)∥2=√
x2+y2.En déduire quef admet une limite en(0,0).
Exercice 15.
Exercice 15.
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en(0,0)? 1. f(x, y) = (x+y)sin(
1 x2+y2
)
2. f(x, y) = xx22−+yy22
3. f(x, y) = x|x+y2+y|2
Exercice 16.
Exercice 16.
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en l’origine ? 1. f(x, y, z) = xy+yz
x2+ 2y2+ 3z2; 2. f(x, y) =
(
x2+y2−1
sinx,sin(x2) +sin(y2)
√
) .
xy
Exercice 17.
Exercice 17.
Soitf la fonction définie surR2 par f(x, y) = xy
x2+y2 si(x, y)̸= (0,0)et f(0,0) = 0.
La fonctionf est-elle continue en (0,0) ?
Exercice 18.
Exercice 18.
Justifier l’existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer.
1. f(x, y) =excosy.
2. f(x, y) = (x2+y2)cos(xy).
3. f(x, y) =√
1 +x2y2.
Exercice 19.
Exercice 19.
Soitf :R2→Rune fonction de classeC1.
1. On définitg:R→Rparg(t) =f(2 + 2t, t2). Démontrer queg estC1 et calculerg′(t)en fonction des dérivées partielles def.
2. On définit h:R2 →Rparh(u, v) =f(uv, u2+v2). Démontrer quehest C1 et exprimer les dérivées partielles ∂h∂u et ∂h∂v en fonction des dérivées partielles ∂f∂x et ∂f∂y.
Exercice 20.
Exercice 20.
On définit f :R2\{(0,0)} →Rpar
f(x, y) = x2 (x2+y2)3/4.
Justifier que l’on peut prolongerf en une fonction continue surR2. Étudier l’existence de dérivées partielles en(0,0)pour ce prolongement.
Exercice 21.
Exercice 21.
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur différentielle 1. f(x, y) =exy(x+y).
2. f(x, y, z) =xy+yz+zx.
3. f(x, y) = (ysinx,cosx).
Exercice 22.
Exercice 22.
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur matrice jacobienne.
1. f(x, y, z) = (1
2(x2−z2),sinxsiny )
.
2. f(x, y) = (
xy,1
2x2+y,ln(1 +x2) )
.
Exercice 23.
Exercice 23.
Soit f : R2 → R définie par f(x, y) = sin(x2 −y2) et g : R2 → R2 définie par g(x, y) = (x+y, x−y).
1. Justifier que f etg sont différentiables en tout vecteur (x, y)∈R2, puis écrire la matrice jacobienne def et celle deg en(x, y).
2. Pour (x, y) ∈ R2, déterminer l’image d’un vecteur (u, v) ∈ R2 par l’application linéaire d(f◦g)((x, y))en utilisant les deux méthodes suivantes :
(a) en calculantf◦g;
(b) en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes.
Exercice 24.
Exercice 24.
Soitf :R2→Rdéfinie par :
(x, y) 7→ xyxx22−+yy22 si(x, y)̸= (0,0) (0,0) 7→ 0.
1. f est-elle continue surR2? 2. f est-elle de classe C1surR2? 3. f est-elle différentiable surR2?
Exercice 25.
Exercice 25.
Soitf :R2→Rtelle que, pour tout(x, y)∈(R2)2, on a
|f(x)−f(y)| ≤ ∥x−y∥2. Démontrer quef est constante.
Démontrer que les applicationsf :R2→Rsuivantes sont de classeC1 surR2. 1. f(x, y) = x2y3
x2+y2 si(x, y)̸= (0,0) etf(0,0) = 0; 2. f(x, y) =x2y2ln(x2+y2)si(x, y)̸= (0,0)et f(0,0) = 0.
Exercice 27.
Exercice 27.
Les fonctions suivantes, définies surR2, sont-elles de classeC1? 1. f(x, y) =xx2−y2
x2+y2 si(x, y)̸= (0,0)etf(0,0) = 0; 2. f(x, y) = x3+y3
x2+y2 si(x, y)̸= (0,0) etf(0,0) = 0; 3. f(x, y) =e−x2 +y1 2 si(x, y)̸= (0,0)et f(0,0) = 0.
Exercice 28.
Exercice 28.
Soitf :R2→Rune application de classeC1.
1. On définit, pour (x, y) ∈ R2 fixé, g : R → R, t 7→ g(t) = f(tx, ty). Montrer que g est dérivable surR, et calculer sa dérivée.
2. On suppose désormais que f(tx, ty) =tf(x, y)pour tousx, y, t∈R. (a) Montrer que pour tousx, y, t∈R, on a
f(x, y) = ∂f
∂x(tx, ty)x+∂f
∂y(tx, ty)y.
(b) En déduire qu’il existe des réels α et β que l’on déterminera tels que, pour tous (x, y)∈R2, on a
f(x, y) =αx+βy.
Exercice 29.
Exercice 29.
Déterminer toutes les fonctionsf :R2→Rde classeC1 solutions des systèmes suivants :
1.
∂f
∂x = xy2
∂f
∂y = yx2.
2.
∂f
∂x = exy
∂f
∂y = ex+ 2y.
3.
∂f
∂x = x2y
∂f
∂y = xy2.
Exercice 30.
Exercice 30.
Calculer les dérivées partielles à l’ordre 2 des fonctions suivantes : 1. f(x, y) =x2(x+y).
2. f(x, y) =exy.
Exercice 31.
Exercice 31.
On posef(x, y) =x2+y2+xy+ 1 etg(x, y) =x2+y2+ 4xy−2.
1. Déterminer les points critiques def, deg.
2. En reconnaissant le début du développement d’un carré, étudier les extrema locaux de f. 3. En étudiant les valeurs deg sur deux droites vectorielles bien choisies, étudier les extrema
locaux deg.
b. Exercices d’entraînement Exercice 32.
Exercice 32.
Pour les fonctions suivantes, démontrer qu’elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en (0,0)sans pour autant y être continue.
1. f(x, y) =
{ y2ln|x| six̸= 0
0 sinon.
2. g(x, y) =
{ x2y
x4+y2 si(x, y)̸= (0,0)
0 sinon.
Exercice 33.
Exercice 33.
Soitf une application de classeC1 surR2. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes :
1. g(x, y) =f(y, x).
2. g(x) =f(x, x).
3. g(x, y) =f(y, f(x, x)).
4. g(x) =f(x, f(x, x)).
Exercice 34.
Exercice 34.
Démontrer que les applicationsf :R2→Rsuivantes sont de classeC1 surR2. 1. f(x, y) = x2y3
x2+y2 si(x, y)̸= (0,0) etf(0,0) = 0; 2. f(x, y) =x2y2ln(x2+y2)si(x, y)̸= (0,0)et f(0,0) = 0.
Soitϕ:GLn(R)→GLn(R), M 7→M−1.
1. Démontrer queϕest différentiable enIn et calculer sa différentielle en ce point.
2. Même question enM ∈GLn(R)quelconque.
Exercice 36.
Exercice 36.
Soitn≥2.
1. Démontrer que l’application déterminant est de classeC∞ surMn(R).
2. Soit1≤i, j≤net f(t) =det(In+tEi,j). Que vautf? 3. En déduire la valeur de ∂E∂det
i,j(In).
4. En déduire l’expression de la différentielle de det enIn.
5. Démontrer que siA est inversible, alorsdAdet(H) =Tr(tcomat(A)H).
6. Démontrer que la formule précédente reste valide pour toute matriceA∈ Mn(R).
Exercice 37.
Exercice 37.
On munit E = Rn[X] de la norme∥P∥ = supt∈[0,1]|P(t)|. Soit ϕ : E → R, P 7→ ∫1
0(P(t))3. Démontrer queϕest différentiable surE et calculer sa différentielle.
Exercice 38.
Exercice 38.
Soitf :U →V une fonction définie sur un ouvertU deRp à valeurs dans un ouvert V deRq. On suppose quef est différentiable enaet quef admet une fonction réciproqueg, différentiable au pointb=f(a). Démontrer quep=q.
Exercice 39.
Exercice 39.
Déterminer les extrema locaux des fonctionsf :R2→Rsuivantes : 1. f(x, y) =x2+xy+y2−3x−6y
2. f(x, y) =x2+ 2y2−2xy−2y+ 5 3. f(x, y) =x3+y3
4. f(x, y) = (x−y)2+ (x+y)3
