http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_fcnsvect.pdf
TD 17 : Fonctions à valeurs vectorielles
Courbes paramétrées
Exercice 1.On considère la fonction vectoriellef :t7→(x(t),y(t)) avec x(t)=t2+t−1 et y(t)=t2+1 Représenter l’arc paramétré correspondant.
Exercice 2.On considère la fonction vectoriellef :t7→(x(t),y(t)) avec x(t)=cos(3t) et y(t)=sin(2t)
Représenter l’arc paramétré correspondant. Déterminer une équation des tangentes à l’origine puis déterminer l’angle entre les deux tangentes à l’origine.
Écrits et oraux de concours
Exercice 3(D’après écrit CCP PC 2016). On note pourt∈[0, 1] :
A(t)=(t, 1), B(t)=(1, 1−t), C(t)=(2t−t2, 1−t2)
On noteT l’ensemble défini parT ={(x,y)∈[0, 1]2|x+yÊ1}. SoitC l’arc paramétré défini à partir de la fonction
f : [0, 1] → R2 t 7→ C(t) (a) Justifier que tous les points deC sont dansT.
(b) Pour toutt∈[0, 1], déterminer un vecteur directeur de la tangenteDtàC enC(t).
(c) Montrer que, pour toutt∈[0, 1], le segment [A(t),B(t)] est inclus dansDt.
(d) Représenter dans un même repère orthonormé la courbe C, la partieT et les segments [A(t),B(t)] pourt=0,t=1/2 ett=1.
Exercice 4(Oral Centrale, PSI, 2016). On étudie l’arc paramétré f de composantes x(t)=p
cos2t+4 cost+3 et y(t)=sint (a) Donner l’ensemble de définition def. Étudier ses symétries.
(b) Étudier les variations et les éventuels points singuliers def. (c) Étudier les tangentes à la courbe à l’origine du repère.
Exercice 5(Oral Polytechnique/ESPCI, PC, 2019). On pose
E={(x,y)∈R2|x2+y2=1} et f : (x,y)7→x+ix y
Représenterf(E). La courbe présente-t-elle des points multiples ? Si oui, les déterminer.
Application en cinématique
Exercice 6.On étudie le déplacement d’un point matérielM. On noteM(t) sa position à l’instantt et on suppose quet7→OM# –(t) est une application de classe C2surR. On note alors#–v(t) la vitesse et
#–a(t) l’accélération à l’instantt. On suppose que :
• Les vecteurs# –
OM(0) et#–
v(0) ne sont pas colinéaires ;
• Le mouvement se fait de sorte que#–a(t) est toujours colinéaire àOM# –(t).
Montrer que le mouvement s’effectue dans un plan.
TD 17 : Fonctions à valeurs vectorielles
Indications
Ex 1. Méthode usuelle pour l’étude. On pourra aussi déterminer la limite dey(t)−x(t)−1 lorsque t→ ±∞et donner une interprétation géométrique.
Ex 2. Méthode usuelle pour l’étude. On pourra également comparer les points de paramètrestet t+π.
Ex 4. (a) Montrer que l’on peut effectuer l’étude sur [0,π]. (b) Attention : la fonction f n’est pas dérivable partout sur [0,π]. (c) On commencera par déterminer la limite
θ→0lim+
y(π−θ)−y(π) x(π−θ)−x(π) et on en donnera une interprétation géométrique.
Ex 5. Les éléments deEs’écrivent (x,y)=(cost, sint) et ainsif(x,y)=cost+i costsint. Il faut donc étudier la courbe paramétrée dont les composantes sont cost et costsint. On montrera que l’on peut ramener l’étude à [0,π/2]. Déterminer des points multiples revient à déterminer s’il existe des valeurs différentes du paramètretqui conduisent au même point (hors périodicité).
Ex 6. Considérer l’application #–
f :t7→# – OM(t)∧#–
v(t), en utilisant la dérivée montrer que cette appli- cation est constante. Démontrer que#– M(t) appartient au plan passant parOet de vecteur normal
f(0).
