PSI* 2019/2020
T.D. 09 — Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles, arcs paramétrés
1. Soient nentier, n≥2, etP ∈R[X]de degré nadmettant nracines réelles distinctes.
Montrer que Q=P2+ 1admet2nracines distinctes dansC.
2. c Soitf la restriction de la fonctiontanà l’intervalle −π 2,π
2, . On notean= 1
n!f(n)(0) pourn∈N. Montrer que : ∀n∈N∗ an+1 = 1
n+ 1
n k=0
akan−k (on pourra remarquer que f′= 1 +f2).
En déduire le développement limité à l’ordre 7 en 0 de la fonction tan.
3. c Théorème de Darboux : soient f :I →Rdérivable et(a, b)∈I2. a)Si f′(a)f′(b)<0, montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que f′(c) = 0.
b)En déduire que, si y ∈ ]f′(a), f′(b)[, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = y (autrement dit, f′ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires).
4. Soient f :I →R, dérivable, et k >0tels que : ∀x∈I |f′(x)| ≤k|f(x)|.
Montrer que, si f s’annule en un point de I, alors f est identiquement nulle sur I (on pourra utiliser g:x→[f(x)]2e−2kx).
5. Soit E un espace vectoriel euclidien et f : I → E deux fois dérivable, telle que f soit constante.
Montrer que (f|f′′) est à valeurs négatives. Interprétation cinématique ?
6. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une norme · , etf :R→E, continue en 0, telle que
1
t · f(t)−f(kt) −→
t→0 ℓ où k∈]0,1[ etℓ∈E sont donnés.
a)Montrer que :
∀ε >0 ∃δ >0 ∀t∈R∗ |t| ≤δ⇒ ∀i∈N 1
t · f kit −f ki+1t −ki.ℓ ≤kiε . b)En déduire que f est dérivable en 0 et exprimerf′(0)en fonction deℓ et dek.
7. Folium de Descartes : on considère l’arc paramétré part→ 3t
t3+ 1, 3t2 t3+ 1 . Montrer qu’il suffit de mener l’étude sur ]−1,1].
Étudier l’arc et tracer son support, dont on donnera une équation cartésienne.
8. Cycloïde : étudier l’arc paramétré part→ R(t−sint), R(1−cost) et tracer son support.
Calculer la longueur d’une “arche”.
9. Néphroïde : étudier et tracer l’arc paramétré par t→ 3 cost−cos 3t,3 sint−sin 3t . Calculer sa longueur.
10. Soit la famille d’arcs paramétrés par t→ t2+a
t,(t+ 1)2+b
t où (a, b) décritR2. Montrer que toutes les asymptotes ont un point commun.
11. Montrer que l’arc paramétré par t → t(3−2t) (t−1)2, t−1 +1
t comporte un point de rebrousse- ment de seconde espèce, que l’on précisera ; on situera, au voisinage de ce point, les deux branches de la courbe de part et d’autre d’un arc de parabole.
