L 11
Produit scalaire : équation cartésienne de plans
T.S • •
∗
∗
∗ •
• •
My Maths Space - 2016
∗ ∗
I Produit scalaire dans l’espace
I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan
D é f i n i t i o n : Soit ~ u et ~v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points tels que ~ u = − −→
AB et ~v = −→
AC alors il existe au moins un plan P contenant A, B et C.
On définit le produit scalaire ~ u ~ v de ~ u par ~ v comme étant le produit scalaire ~ u ~v dans le plan P vu en classe de première.
(dessin)
On peut ainsi étendre à l’espace des expressions et propriétés du produit scalaire dans le plan, ce qui donne les propriétés suivantes :
◮ Avec le projeté orthogonal :
A B
C
H
• − → u − → v = − → u − → v
′où − →
v
′est le projeté orthogonal de − → v sur − → u . Ainsi, si − → u = − − →
AB, − → v = −→
AC et − → v
′= −−→
AH
− − → AB −→
AC = − −→
AB −−→
AH = ±AB × AH (± : « plus ou moins »)
◮ Avec le cosinus ( − → u et − → v non nuls) :
−
→ u − → v = ||− → u || × ||− → v || cos(( − → u , − → v )) Autrement dit, si A 6= B et si A 6= C, − −→
AB −→
AC = AB × AC × cos(\ BAC ).
◮ Avec les normes :
−
→ u − → v = 1
2 ||− → u + − → v ||
2− ||− → u ||
2− ||− → v ||
2= 1
2 ||− → u ||
2+ ||− → v ||
2− ||− → u − − → v ||
2Ce qui s’écrit aussi, avec le deuxième partie de la formule : − −→
AB −→
AC = 1
2 AB
2+ AC
2− BC
2I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé ( O ;~i;~j; ~k)
T H É O R È M E : Soit − → u
x y z
et − → v
x
′y
′z
′
alors dans le repère orthonormé (O;~i;~j; ~k), le produit scalaire de − → u par − → v est égal à
−
→ u − → v = xx
′+ yy
′+ zz
′Distance : si A(x
A; y
A) et B(x
B; y
B) alors AB = p (x
B− x
A)
2+ (y
B− y
A)
2+ (z
B− z
A)
2◮ Propriétés du produit scalaire :
• −→u−→v =−→v −→u
• (k−→u)−→v =k(−→u −→v) =−→u (k−→v) oùk∈R
• −→u(−→v +−→w) =−→u −→v +−→u −→w
• (−→u +−→v)2=||−→u +−→v||2=||−→u||2+||−→v||2+ 2−→u −→v
• (−→u − −→v)2=||−→u − −→v||2=||−→u||2+||−→v||2−2−→u −→v
• (−→u +−→v)(−→u − −→v) =||−→u||2− ||−→v||2
My Maths Space - 2016
∗ ∗
∗
I.3 Produit scalaire et orthogonalité
D É F I N I T I O N : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
I.3.1 Orthogonalité de deux droites
P R O P R I É T É : Soit deux droites d
1et d
2de vecteurs directeurs u ~
1et u ~
2. d
1et d
2sont orthogonales si et seulement si u ~
1u ~
2= 0
EXERCICE 1 Dans un repère orthonormé,on considère les points A(1; −1; 0), B(−1; −2; −1) et C(3; −1; 1).
Calculer −− → AB −→
AC , puis AB et AC ; en déduire une valeur approchée à 0, 1˚ près de l’angle ( −− → AB; −→
AC).
Solution : − − → AB
x
B− x
A=. . . . y
B− y
A=. . . . z
B− z
A=. . . .
et −→
AC
x
C− x
A=. . . . y
C− y
A=. . . . z
C− z
A=. . . .
donc − − → AB −→
AC = . . . . AB = || −−→
AB|| = . . . . AC = || −→
AC|| = . . . . cos(( −−→
AB; −→
AC )) =
−− → AB −→
AC
AB × AC = . . . . d’où ( −− → AB; −→
AC) = . . . .
• • EXERCICE 2 :
H
C E
D F
A
B
G
On considère un cube ABCDEF GH. On choisit un repère de l’espace orthonormé lié au cube : (A;−→
AB;−−→ AD;−→
AE)
1. Montrer que la droite (EC) est orthogonale aux droites (BD) et (BG).
2. Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ? Démarche :
Écrire les coordonnées des pointsE, C, B, DetG. Puis calculer, les coordonnées des vecteurs
−−→ EC,−−→
BDet−−→ BG.
• −−→ EC−−→
BD=. . . .=. . . ., Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→
EC et−−→
BDsont . . . et les droites . . . et . . . sont . . . .
• −−→ EC−−→
BG=. . . .=. . . ., Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→
EC et−−→
BGsont . . . et les droites . . . et . . . sont . . . .
• Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ?
• •
EXERCICE 3
ABCDest un tétraèdre régulier d’arêtea. (Toutes les faces sont des triangles équilatéraux (angles π3)) 1. Calculer−→AB−−→ CBet−→
AB−−→
BD.
2. Montrer que (AB) et (CD) sont orthogonales.
Démarche : 1. −→
AB−−→ CB=−→
BA−−→
BC =
f ormule cosinus. . . .
−→AB−−→
BD=−−→
BA−−→
BD =
f ormule cosinus. . . . 2. −→
AB−−→
CD−−→ =
CD=−−→ CB+−−→
BD
. . . . Conclure
My Maths Space - 2016
∗ ∗
I.4 Orthogonalité : méthodes générales I.4.1 Orthogonalité de deux droites
Propriété : Deux droites d
1et d
2de vecteurs directeurs u ~
1et u ~
2sont orthogonales si et seulement si u ~
1u ~
2= 0
Exemple 1 On considère les droites d
1et d
2définies de la façon suivante :
• d
1passe par A(4; 1; −5) et B(6; 4; 5) ;
• d
2dont une représentation paramétrique est
x = 4t
y = 1 − 6t , t ∈ R z = −3 + t
. d
1et d
2sont-elles orthogonales ?
Méthode : Coordonnées de u ~
1vecteur directeur de d
1et de u ~
2un vecteur directeur de d
2. Effectuer le produit scalaire
~ u
1u ~
2. Conclure.
I.4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Propriété : Une droite d de vecteur directeur u ~
dest orthogonale à un plan P de vecteurs directeurs v ~
Pet
~
w
Psi et seulement si u ~
d. ~ v
P= 0 et u ~
d. ~ w
P= 0
Exemple 2 On considère les droites d et le plan P définis de la façon suivante :
• P dont une représentation paramétrique est
x = 6 + 2t − 4t
′y = 5 + 3t − t
′, t, t
′∈ R z = −1 + 10t
;
• d dont une représentation paramétrique est
x = 4t
y = 1 − 6t , t ∈ R z = −3 + t
. d est-elle orthogonale à P ?
Méthode : Coordonnées de u ~
dvecteur directeur de d et de v ~
Pet w ~
Pdeux vecteurs directeurs de P . Effectuer les produits scalaires u ~
dv ~
Pet u ~
dw ~
P.
Conclure.
II Plan dans l’espace
II.1 Vecteur normal à un plan
Définition : Un vecteur ~ n non nul est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. (dessin)
Conséquences :
• Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs qui dirigent le plan ;
• Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.
My Maths Space - 2016
∗ ∗
∗
Propriétés :
−→ Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre. (dessin)
−→ Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre. (dessin)
Exemple 3 Déterminer un vecteur normal à un plan connaissant 3 points du plan : Soit (O;~i;~j; ~k) un repère orthonormé. A(1; 2; 3), B(−2; 4; 5) et C(−3; 1; −1).
Prouver que A, B et C définissent un plan et trouver les coordonnées d’un vecteur normal au plan (ABC).
Solution : −− → AB
x
B− x
A=. . . . y
B− y
A=. . . . z
B− z
A=. . . .
et −→
AC
x
C− x
A=. . . . y
C− y
A=. . . . z
C− z
A=. . . .
donc − − → AB et −→
AC ne sont pas . . . car leurs coordonnées ne sont pas . . . ( justification : . . .
. . . 6= . . . . . . )
Les points A, B et C définissent bien un plan.
On pose ~ n
a b c
un vecteur normal du plan (ABC).
~
n est normal au plan (ABC) ⇔ (
~ n −− → AB = 0
~ n −→
AC = 0 ⇔
2 équations,3inconnues
. . . . . . . .
Plusieurs vecteurs normaux sont possibles, on choisit l’une des coordonnées a, b ou c ; le système précédent devient un système de deux équations à deux inconnues. Conclure.
• •
II.2 Équation cartésienne d’un plan
À partir de là, le travail sera fait en classe.
Soit A un point d’un plan P. On a donc, pour tout point M de P , −−→
AM . ~ n = 0. Réciproquement, si un point M vérifie −−→
AM . ~ n = 0, alors M est dans le plan P .
Conséquence : Le plan P qui passe par A et de vecteur normal ~ n est l’ensemble des points M de l’espace tels que −−→
AM . ~ n = 0 (dessin)
0 ~j
~k
~i
b
− d c
b