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Produit scalaire : équation cartésienne de plans

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

L 11

Produit scalaire : équation cartésienne de plans

T.S • •

My Maths Space - 2016

∗ ∗

I Produit scalaire dans l’espace

I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan

D é f i n i t i o n : Soit ~ u et ~v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points tels que ~ u = − −→

AB et ~v = −→

AC alors il existe au moins un plan P contenant A, B et C.

On définit le produit scalaire ~ u ~ v de ~ u par ~ v comme étant le produit scalaire ~ u ~v dans le plan P vu en classe de première.

(dessin)

On peut ainsi étendre à l’espace des expressions et propriétés du produit scalaire dans le plan, ce qui donne les propriétés suivantes :

Avec le projeté orthogonal :

A B

C

H

• − → u − → v = − → u − → v

où − →

v

est le projeté orthogonal de − → v sur − → u . Ainsi, si − → u = − − →

AB, − → v = −→

AC et − → v

= −−→

AH

− − → AB −→

AC = − −→

AB −−→

AH = ±AB × AH (± : « plus ou moins »)

Avec le cosinus ( − → u et − → v non nuls) :

u − → v = ||− → u || × ||− → v || cos(( − → u , − → v )) Autrement dit, si A 6= B et si A 6= C, − −→

AB −→

AC = AB × AC × cos(\ BAC ).

Avec les normes :

u − → v = 1

2 ||− → u + − → v ||

2

− ||− → u ||

2

− ||− → v ||

2

= 1

2 ||− → u ||

2

+ ||− → v ||

2

− ||− → u − − → v ||

2

Ce qui s’écrit aussi, avec le deuxième partie de la formule : − −→

AB −→

AC = 1

2 AB

2

+ AC

2

BC

2

I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé ( O ;~i;~j; ~k)

T H É O R È M E : Soit − → u

x y z

 et − → v

x

y

z

alors dans le repère orthonormé (O;~i;~j; ~k), le produit scalaire de − → u par − → v est égal à

u − → v = xx

+ yy

+ zz

Distance : si A(x

A

; y

A

) et B(x

B

; y

B

) alors AB = p (x

B

x

A

)

2

+ (y

B

y

A

)

2

+ (z

B

z

A

)

2

Propriétés du produit scalaire :

• −→u−→v =−→v −→u

• (k−→u)−→v =k(−→u −→v) =−→u (k−→v) oùk∈R

• −→u(−→v +−→w) =−→u −→v +−→u −→w

• (−→u +−→v)2=||−→u +−→v||2=||−→u||2+||−→v||2+ 2−→u −→v

• (−→u − −→v)2=||−→u − −→v||2=||−→u||2+||−→v||2−2−→u −→v

• (−→u +−→v)(−→u − −→v) =||−→u||2− ||−→v||2

(2)

My Maths Space - 2016

∗ ∗

I.3 Produit scalaire et orthogonalité

D É F I N I T I O N : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

I.3.1 Orthogonalité de deux droites

P R O P R I É T É : Soit deux droites d

1

et d

2

de vecteurs directeurs u ~

1

et u ~

2

. d

1

et d

2

sont orthogonales si et seulement si u ~

1

u ~

2

= 0

EXERCICE 1 Dans un repère orthonormé,on considère les points A(1; −1; 0), B(−1; −2; −1) et C(3; −1; 1).

Calculer −− → AB −→

AC , puis AB et AC ; en déduire une valeur approchée à 0, 1˚ près de l’angle ( −− → AB; −→

AC).

Solution : − − → AB

x

B

x

A

=. . . . y

B

y

A

=. . . . z

B

z

A

=. . . .

 et −→

AC

x

C

x

A

=. . . . y

C

y

A

=. . . . z

C

z

A

=. . . .

donc − − → AB −→

AC = . . . . AB = || −−→

AB|| = . . . . AC = || −→

AC|| = . . . . cos(( −−→

AB; −→

AC )) =

−− → AB −→

AC

AB × AC = . . . . d’où ( −− → AB; −→

AC) = . . . .

• • EXERCICE 2 :

H

C E

D F

A

B

G

On considère un cube ABCDEF GH. On choisit un repère de l’espace orthonormé lié au cube : (A;−→

AB;−−→ AD;−→

AE)

1. Montrer que la droite (EC) est orthogonale aux droites (BD) et (BG).

2. Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ? Démarche :

Écrire les coordonnées des pointsE, C, B, DetG. Puis calculer, les coordonnées des vecteurs

−−→ EC,−−→

BDet−−→ BG.

• −−→ EC−−→

BD=. . . .=. . . ., Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→

EC et−−→

BDsont . . . et les droites . . . et . . . sont . . . .

• −−→ EC−−→

BG=. . . .=. . . ., Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→

EC et−−→

BGsont . . . et les droites . . . et . . . sont . . . .

• Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ?

• •

EXERCICE 3

ABCDest un tétraèdre régulier d’arêtea. (Toutes les faces sont des triangles équilatéraux (angles π3)) 1. Calculer−→

AB−−→ CBet−→

AB−−→

BD.

2. Montrer que (AB) et (CD) sont orthogonales.

Démarche : 1. −→

AB−−→ CB=−→

BA−−→

BC =

f ormule cosinus. . . .

−→AB−−→

BD=−−→

BA−−→

BD =

f ormule cosinus. . . . 2. −→

AB−−→

CD =

CD= CB+

BD

. . . . Conclure

(3)

My Maths Space - 2016

∗ ∗

I.4 Orthogonalité : méthodes générales I.4.1 Orthogonalité de deux droites

Propriété : Deux droites d

1

et d

2

de vecteurs directeurs u ~

1

et u ~

2

sont orthogonales si et seulement si u ~

1

u ~

2

= 0

Exemple 1 On considère les droites d

1

et d

2

définies de la façon suivante :

d

1

passe par A(4; 1; −5) et B(6; 4; 5) ;

d

2

dont une représentation paramétrique est

x = 4t

y = 1 − 6t , t ∈ R z = −3 + t

. d

1

et d

2

sont-elles orthogonales ?

Méthode : Coordonnées de u ~

1

vecteur directeur de d

1

et de u ~

2

un vecteur directeur de d

2

. Effectuer le produit scalaire

~ u

1

u ~

2

. Conclure.

I.4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Propriété : Une droite d de vecteur directeur u ~

d

est orthogonale à un plan P de vecteurs directeurs v ~

P

et

~

w

P

si et seulement si u ~

d

. ~ v

P

= 0 et u ~

d

. ~ w

P

= 0

Exemple 2 On considère les droites d et le plan P définis de la façon suivante :

• P dont une représentation paramétrique est

x = 6 + 2t − 4t

y = 5 + 3t − t

, t, t

∈ R z = −1 + 10t

;

d dont une représentation paramétrique est

x = 4t

y = 1 − 6t , t ∈ R z = −3 + t

. d est-elle orthogonale à P ?

Méthode : Coordonnées de u ~

d

vecteur directeur de d et de v ~

P

et w ~

P

deux vecteurs directeurs de P . Effectuer les produits scalaires u ~

d

v ~

P

et u ~

d

w ~

P

.

Conclure.

II Plan dans l’espace

II.1 Vecteur normal à un plan

Définition : Un vecteur ~ n non nul est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. (dessin)

Conséquences :

• Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs qui dirigent le plan ;

• Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.

(4)

My Maths Space - 2016

∗ ∗

Propriétés :

−→ Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre. (dessin)

−→ Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre. (dessin)

Exemple 3 Déterminer un vecteur normal à un plan connaissant 3 points du plan : Soit (O;~i;~j; ~k) un repère orthonormé. A(1; 2; 3), B(−2; 4; 5) et C(−3; 1; −1).

Prouver que A, B et C définissent un plan et trouver les coordonnées d’un vecteur normal au plan (ABC).

Solution : −− → AB

x

B

x

A

=. . . . y

B

y

A

=. . . . z

B

z

A

=. . . .

 et −→

AC

x

C

x

A

=. . . . y

C

y

A

=. . . . z

C

z

A

=. . . .

donc − − → AB et −→

AC ne sont pas . . . car leurs coordonnées ne sont pas . . . ( justification : . . .

. . . 6= . . . . . . )

Les points A, B et C définissent bien un plan.

On pose ~ n

a b c

 un vecteur normal du plan (ABC).

~

n est normal au plan (ABC) ⇔ (

~ n −− → AB = 0

~ n −→

AC = 0 ⇔

2 équations,3inconnues

. . . . . . . .

Plusieurs vecteurs normaux sont possibles, on choisit l’une des coordonnées a, b ou c ; le système précédent devient un système de deux équations à deux inconnues. Conclure.

• •

II.2 Équation cartésienne d’un plan

À partir de là, le travail sera fait en classe.

Soit A un point d’un plan P. On a donc, pour tout point M de P , −−→

AM . ~ n = 0. Réciproquement, si un point M vérifie −−→

AM . ~ n = 0, alors M est dans le plan P .

Conséquence : Le plan P qui passe par A et de vecteur normal ~ n est l’ensemble des points M de l’espace tels que −−→

AM . ~ n = 0 (dessin)

0 ~j

~k

~i

b

d c

b

A(x

A

, y

A

, z

A

) Plan P

Vecteur normal − → n

n

a b c

:

Dans le repère R = (O;~i;~j;~k), tout plan P admet une équation de la forme :

ax + by + cz + d = 0 (avec a, b et c non tous nuls) et réciproquement l’ensemble des points M (x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal

~ n

a b c

 .

(5)

Exemple 4 :

Donner une équation du plan P passant par A(−2, 1, 3) et de vecteur normal ~ n

 2

−6 1

II.3 Exercices importants

1. Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan :

Dans un repère orthonormé (O;~i;~j; ~k), on considère la droite (AB) où A(1; 2; −1) et B (0; 1; 3) et le plan P d’équation x + y + z − 1 = 0. Prouver que (AB) coupe le plan P . Préciser en quel point.

2. Déterminer la droite d’intersection de deux plans :

Dans un repère orthonormé (O;~i;~j; ~k), on considère les plans P et Q d’équations respectives x − 3y + 2z = 5

et 2x + y + 7z = 1. Prouver que P et Q sont sécants et détermienr une représentation paramétrique de leur

droite d’intersection.

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