Chapitre 6 Arcs paramétrés

Mathématiques – cours : Chap 6 : Arc Paramétrés

1

Chap 6 : Arcs Paramétrés

( , , ) plan affine euclidien muni d'un RON O i j

P

 

I. Fonctions à valeurs vectorielles

1

2 2

2

lim ( )

1

lim ( ) lim ( ) 0

( ) lim ( )

( ) ( )

lim ( ) ( )

\ { }

où

est continue en si et sont continues en

est dérivable en si

t a

t a t a

t a

t a

F x t l l

f x t f t l f t l l

y t l l

t f t

y t

f a f t f a x y a

I a

f a g

→

→ →

→

→

 →  =  

   = ⇔ − = ⇔ 

 =    =    

   



= ⇔





2

. '( )

( ) ( ) admet une limite en Dans ce cas, l a f a l f t f a

t t a

 →

 =

 −

 −







2

2

0 0

'( ) '( ) | ( ) ( ) | '( ) ( ) | ( )

: ( ) ' 2 ' : ( ) ' '

(idem pour det)

I t f t g t f t g t

t f t g t

f f

t f t f f t f t

f

ϕ ϕ

ψ ψ ψ ψ ψ

 →  = 〈 〉 + 〈 〉

 〈 〉



⇒ = ⋅ ⇒ = = ⋅

   

  

      

  

II. Courbes paramétrées

( , ) :

2

( ) ( ) ( )

{ ( ), }

Arc paramétré : donnée d'un couple avec intervalle de et Application

Support de l'arc paramétré : (NE PAS CONFONDRE L'ARC ET SON S

I f I f I

I

t M t tq OM t f t M t t I

γ

→

 →

⇒ 

 =

Γ = ∈

P

 

 

 



0 0

0

0

0

( ) '( ) 0

( ) ( ) ( )

UPPORT) Point régulier si (singulier sinon)

Si régulier en : la courbe admet une tangente en dirigée par

M t f t

M t M t f t

 ≠



Preuve : passer par

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{t t} 0

f t +h = f t + ⋅h f t +h

ε

t

ε

t _→ →

     

, définir N(h) avec ça, sans

ε

( )

( ) '( ) ( ) '( )

Interprétation cinématique : représente la position de au temps Le support est la trajectoire du point

est le vecteur vitesse à l'instant ( est la vitess

M t M t

M

v t f t d OM t t f t

dt Γ

= =



  

2

2 2

( , ) ''( ) ( ) 2 ( ) ( )

e)

Si , d v d OM est l'accélération du point à l'instant

f I f t t t a t M t

dt dt

∈C = = =

 

  



III. Etude d’un arc paramétré

1. Trouver et restreindre l’intervalle d’étude

Chercher une périodicité, une parité.

( ) ( ) ( )

x et y impairs : symétrie centrale x pair, y impair : sym/ Ox x et y pairs : M t =M −t

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2

2. Etudier les variations

Points singuliers, limites, valeurs particulières

3. Branches infinies

a)

x t ( ) 

_t→a

→∞ y t ( ) 

_t→a

→ l

Asymptote horizontale

(Asymptote verticale si y et x sont intervertis) b) x t( )→ ∞ y t( )→ ∞ Si ( )

( ) y t

x t → ∞ : Branche parabolique de direction (Oy) Si ( )

( ) 0 y t

x t → : Branche parabolique de direction (Ox) Si ( )

( ) y t

x t → ∈

α

 :

• Si lim( ( ) ( )) : asymptote : :

t a y t

α

x t

β

y

α

x

β

→ − = ∈ ∆ = +

• Si lim( ( ) ( )) : branche parabolique de direction

t a y t

α

x t y

α

x

→ − = ∞ =

• Sinon (pas de limite), on ne peut rien dire Sinon, on ne peut rien dire

Position par rapport à l’asymptote : signe de x t( )−l _ou y t( )−

α

x t( )−

β 4. Points multiples

Résoudre ^{1 2}

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) x t x t y t y t

 =

 =



5. Points particuliers

On les places avec leur vecteur tangent

T   = f t '( )

₀

Tangente :

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

( ) '( )

0 '( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) 0

( ) '( ) x x t x t

y t x x t y x t y t y t x t y y t y t

− = ⇔ − − + =

−

6. Points singuliers

On remonte à la première dérivée n-ième qui n’est pas nulle.

( )

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

!

n n n

OM t h OM t h f t h h

n ε

+ = + +

   

(pour n pair, c’est un point de rebroussement)

7. On trace

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3

IV. Coordonnées polaires

2

( ) ( )

' ' '( )

cos sin sin cos

t t

u t v

u

_θ

v

_θ ^{θ θ}

ϕ θ θ ψ θ θ ϕ ψ θ

θ θ

 →  →

     −  = =

 =    =  

      



 

   

 

 

( )

( ) ( )

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) '( ) '( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( "( ) ( )( '( )) ) (2 '( ) '( ) ( ) "( )) Pour un arc défini en coordonnées polaires par et

t

t t

t t

t t

u t t u

v t u t t u t t v

a t v t t t t u t t t t v

θ

θ θ

θ θ

θ ρ

ρ

ρ ρ θ

ρ ρ θ ρ θ ρ θ

=

= = +

= = − + +

 

   

    

' ' ' ' ( " ' )

2

(2 ' ' ")

Avec les fonctions : u  = ⋅ ρ u 

_θ

v   = = ⋅ + ⋅ ⋅ u ρ u 

_θ

ρ θ v 

_θ

a   = = v ρ ρ θ − ⋅ u 

_θ

+ ρ θ ρ θ ⋅ + ⋅ v 

_θ

( )

( ) ( )

( ) '( ) ( )

( ) ( "( ) ( )) 2 '( ) Si on suppose t t

u u

v u v

a u v

θ

θ θ

θ θ

θ θ ρ θ

θ ρ θ ρ θ

θ ρ θ ρ θ ρ θ

=

=

= +

= − +

 

  

  

1. Restriction de l’intervalle d’étude

Périodicité : uniquement avec 2kπ

( ) ( )

( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) :

paire : symétrie Ox impaire : Oy

M M O

ρ ρ

ρ θ π

+ = −

ρ θ θ

=

θ π

+

ρ θ π

+ =

ρ θ 2. Variations

Point singulier :

ρ θ

'( )=

ρ θ

( )=0

3. Points multiples

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

[2 ] [2 ]

( ) ( )

( ) ( ) ou ( ) ( )

M M θ θ π θ θ π π

θ θ

ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ

≡ ≡ +

 

= ⇔   =   = −

4. Branches asymptotiques ( )

_{θ a}

ρ θ 

_→

→∞

a)

a = ∞

On a une spirale

b) 0

a≡/ 

π

2

  

( ) tan tan

( )

y a

x

θ θ

θ

^{= →}

On étudie 1

( ) tan ( ) ( )sin( )

y a x cos a

θ

− ⋅

θ

= a

ρ θ θ

−

• Si 1

( )sin( )

cos a

a

ρ θ θ

− → ∈

β

 : asymptote tan y a x cos

a

= ⋅ +

β

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4

• Si 1

( )sin( )

cos a

a

ρ θ θ

− → ∞ : branche parabolique de direction

y = tan a x ⋅

c) 0

a _{ }

π

2

≡   

On regarde si x( )

θ

→ ∞ et y( )

θ

→ ∞ Voir a)

5. Points singuliers

Si

ρ θ ≠ "( )

₀

0

, tangente dirigée par

u 

_θ0

6. On trace

Points particuliers et vecteurs tangents.

( ) cos( )

: ( ) 2 cos( )

( ) (1 cos ) ( 0)

Exemples importants : Droite :

Cercle passant par Cardioïde :

d

O R

a

ρ θ θ α

ρ θ θ α

ρ θ θ α

= −

= −

= = >