Calculer, pour tout entier n, la dérivée n-ième de x 6 x .

(1)

PanaMaths Février 2008

Calculer, pour tout entier n, la dérivée n-ième de x 6 x .

Analyse

Quelques calculs de dérivées successives permettent de « voir » le mécanisme. On en tire une expression générale que l’on cherchera à simplifier.

Résolution

Posons, pour tout réel x strictement positif : ^{f x}

( )

⁼ ^x^.

On a bien sûr : ^f^{( )}⁰

( )

^x ⁼ ^x⁼^x¹²^et ^{( )}¹

( )

¹ ¹ ¹² ¹

2 2

f x x

x

= = − .

Il vient : ^{( )}²

( )

¹ ¹ ¹ ¹² ^{1 1} ¹ ¹ ¹ ¹² ²

2 2 2 2

f x = ×⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠x ^{− −} = ×⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠x ⁻ .

Puis : ^{( )}³

( )

¹ ¹ ¹ ¹ ² ¹² ^{2 1} ¹ ¹ ¹ ¹ ² ¹² ³

2 2 2 2 2 2

f x = ×⎛⎜⎝ − ×⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎞⎟⎠x ^{− −} = ×⎛⎜⎝ − ×⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎞⎟⎠x ⁻ .

Le calcul suggère de poser, pour n entier naturel non nul :

( )

¹ ¹ ¹ ¹ ² ^... ¹

(

¹

)

¹²

2 2 2 2

n n

f x = ×⎛⎜⎝ − ×⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎞⎟⎠× ×⎛⎜⎝ − n− ⎞⎟⎠x ⁻

Nous allons démontrer cette formule par récurrence.

Elle est exacte pour n=1 et n=2. Supposons qu’elle soit vraie au rang n.

Au rang n+1, on a :

( )

( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( ( ) )

⁽ ⁾

1

1 1

2

1 1

2

'

1 1 1 1 1

1 2 ... 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 2 ... 1 1 1

2 2 2 2 2

n n

n

f x f x

n n x

n n x

+

− −

− +

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ×⎜⎝ − ×⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎟⎠× ×⎜⎝ − − ⎟ ⎜⎠ ⎝× − ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ×⎜⎝ − ×⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎟⎠× ×⎜⎝ − − ⎟ ⎜⎠ ⎝× − + − ⎟⎠

La formule est ainsi vérifiée au rang n+1.

Nous allons maintenant en donner une expression plus simple.

(2)

PanaMaths Février 2008

Posons, pour tout entier naturel non nul : ¹ ¹ ¹ ¹ ² ^... ¹

(

¹

)

2 2 2 2

un= ×⎛⎜⎝ − ×⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎞⎟⎠× ×⎛⎜⎝ − n− ⎞⎟⎠. Ce produit comporte n facteurs et on a :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1

1 2 ... 1

2 2 2 2

1 1 3 5 2 3

2 2 2 2 ... 2

1 3 5 ... 2 3

1 2

1 2 3 4 5 ... 2 4 2 3 2 2

1 2 2 4 ... 2 2

1 2 3 4 5 ... 2 2 2 1 2

1 2

n

u n

n n

n n n

n

n n n

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ×⎜⎝ − ×⎟ ⎜⎠ ⎝ − ⎟⎠× ×⎜⎝ − − ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞

= × −⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× − ⎟ ⎜⎠ ⎝× − ⎟⎠× × −⎜⎝ ⎟⎠

× × × × −

= −

× × × × × × − × − × −

= − × × × × −

× × × × × × − × − ×

= − ×

( ) ( )

1 1

2

1

2 1 2 3 ... 1 2 1 2

1 2 !

2 1 2 !

n

n n n

n

n n

−

× × × × × − × − ×

= −

− ×

On constate que cette formule est également valable pour n=0 (elle fournit u₀=1).

Finalement :

( )

( ) ( )

¹

( )

¹

* 2

2

1 2 !

, ,

2 1 2 !

n n n

n

n x f x n x

n n

− −

+ −

∀ ∈ ∀ ∈ =

− ×

` \

Résultat final

Pour tout x réel strictement positif, si on pose ^{f x}

( )

⁼ ^x, il vient :

( )

( ) ( )

¹

( )

¹₂

2

1 2 !

, 2 1 2 !

n n n

n

n f x n x

n n

− −

∀ ∈ = −

− ×

`