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EXERCICE 1 Montrer que, pour tout x réel, | x − 1 | 6 x

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Academic year: 2022

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(1)

P

2

: doc 3 Exercices sur les différents types de raisonnement 2015-2016

EXERCICE 1 Montrer que, pour tout x réel, | x − 1 | 6 x

2

− x + 1.

conseil : un raisonnement par disjonction de cas est préconisé. Ce qu’il faut savoir

| x | =

x si x > 0

− x si x < 0

• • • EXERCICE 2 Déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation

x + | 1 − x

2

| > 1

• • • EXERCICE 3 Résoudre p

| x − 3 | 6 x − 1

• • • EXERCICE 4 Écrire la négation de l’affirmation suivante :

« Pour toute fonction f : R −→ R qui ne s’annule pas, si f bornée alors l’inverse de f est bornée. » L’affirmation est-elle vraie ? Justifier.

• • • EXERCICE 5 Écrire la négation de l’affirmation suivante :

« ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, | x | < δ = ⇒ x

2

< ǫ » L’affirmation est-elle vraie ? Justifier.

• • • EXERCICE 6 1. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R

2

, xy 6 x

2

+ y

2

2 . Étudier le cas d ?égalité.

2. Justifier que pour tout (x, y, z) ∈ R

3

, | x + y + z |

√ 3 6 p

x

2

+ y

2

+ z

2

. Étudier le cas d’égalité.

• • •

EXERCICE 7 Soit (u

n

)

n∈N

la suite réelle définie par u

0

= 1, u

1

= 1 et u

n+2

= u

n

+ u

n+1

1. Montrer que, pour tout n ∈ N , u

n

> n. En déduire la limite de la suite (u

n

). récurrence double 2. Montrer que, pour tout n ∈ N , u

2n

− u

n−1

u

n+1

= ( − 1)

n

. récurrence simple

• • • EXERCICE 8 Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R telles que

∀ x, y ∈ R , f(x)f (y) = f (xy) + x + y

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