MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 11 pour le 24/02/20 4 février 2020
Exercice.
1. Décomposer en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 1) . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de la suite
n
X
k=3
4k − 3 k(k − 2)(k + 1)
!
n∈N\J0,2K
.
Problème.
Notons Z [X] l'ensemble des polynômes à coecients dans Z. Dans ce problème, on iden- tie un polynôme à la fonction polynomiale qui lui est associée. On notera donc, pour tout P ∈ R [X] et x ∈ R, le résultat de la substitution dans P de X par x comme P(x) au lieu de P e (x) .
Un réel x est dit algébrique s'il existe un polynôme non nul P ∈ Z [X ] tel que P(x) = 0 . Un réel non algébrique est dit transcendant.
1. Exemples de nombres algébriques.
a. Montrer que tout nombre rationnel est algébrique.
b. Donner un exemple de nombre réel algébrique irrationnel.
2. Théorème de Liouville
Soit d ∈ N
∗, soit (a
0, ..., a
d) ∈ Z
d+1avec a
d6= 0 et P ∈ Z [X ] déni par : P =
d
X
k=0
a
kX
k.
Soit x ∈ R une racine de P .
a. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que :
∀y ∈ [x − 1, x + 1], |P (y)| ≤ M |x − y| . b. Montrer que pour tout couple (p, q) ∈ Z × N
∗tel que P
p q
6= 0 :
d
X
k=0
a
kp
kq
d−k≥ 1.
c. Montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que :
∀(p, q) ∈ Z × N
∗, P p
q
6= 0 = ⇒
x − p q
≥ K q
d. 3. Nombres de Liouville
Soit (u
n)
n∈N∈ J 0, 9 K
Nune suite de nombres naturels inférieurs ou égaux à 9 .
∀n ∈ N , posons x
n=
n
X
k=0
u
k10
k!.
a. Montrer que pour tout k ∈ N : u
k10
k!≤ 9
10
k.
b. En déduire que la suite (x
n)
n∈Nconverge. Notons x sa limite.
c. Montrer que pour tout n ∈ N :
|x − x
n| ≤ 1 10
n n!. d. Montrer que x est transcendant.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
