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1. Décomposer en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 1) .

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Texte intégral

(1)

MPSI B 3 février 2020

Énoncé

1. Décomposer en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 1) .

2. Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 1)

!

n∈N\J0,2K

.

Corrigé

1. Décomposons en éléments simples la fraction 4X − 3 X(X − 2)(X + 1) . Tous les pôles sont simples :

4X ^ − 3

(X − 2)(X + 1) (0) = 3

2 , 4X ^ − 3

X (X + 1) (2) = 5

6 , 4X ^ − 3

X (X − 2) (−1) = − 7 3

⇒ 4X − 3

X(X − 2)(X + 2) = 1 6

9 X + 5

X − 2 − 14 X + 1

2. On en déduit

n

X

k=3

4k − 3

k(k − 2)(k + 1) = 1 6 9

n

X

k=3

1 k + 5

n

X

k=3

1 k − 2 − 14

n

X

k=3

1 k + 1

!

= 1 6 9

n

X

k=3

1 k + 5

n−2

X

k=1

1 k − 14

n+1

X

k=4

1 k

!

Comme 9 + 5 − 14 = 0 , les termes des sommes entre 4 et n − 2 disparaissent. Il reste :

n

X

k=3

4k − 3

k(k − 2)(k + 1) = 1 6

9 1

3 + 5(1 + 1 2 + 1

3 ) + ε

n

où ε

n

est une somme de termes qui tendent vers 0. On en déduit que

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 1)

!

n≥3

→ 1 6

3 + 55

6

= 73 36 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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