Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X] la fraction rationnelle

MPSI B DS 7 29 juin 2019

Exercice 1

Soit n un entier non nul. On se propose de décomposer en éléments simples dans C [X ] puis dans R [X] la fraction rationnelle

F = 1

(X ⁿ − 1) ² .

1. Préciser les pôles de F . La partie polaire de F relative au pôle u est notée

α(u)

(X − u) ² + β(u) X − u

Comment s'écrit la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) ?

2. Soit k un entier entre 1 et n . Former des développements limités à l'ordre 1 en 1 des fonctions suivantes

x ^k , 1 + x + x ² + · · · + x ⁿ⁻¹ , 1 + x + x ² + · · · + x ^{n−1 −2} .

3. Pour un pôle u autre que 1 , exprimer α(u) en fonction de u et α(1) , exprimer β(u) en fonction de u et β (1) .

4. a. Montrer que, au voisinage de 1 , 1

(1 + x + x ² + · · · + x ⁿ⁻¹ ) ² = α(1) + β(1)(x − 1) + o(x − 1).

En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1.

b. Former la décomposition en éléments simples de F dans C (X ) . 5. On note w = e

.

a. Soit k ∈ {1, 2, · · · , n − 1} , préciser k ⁰ ∈ {1, 2, · · · , n − 1} tel que

w ^k = w ^k

b. En distinguant n pair et n impair, factoriser X ⁿ − 1 en polynômes irréductibles de R [X] .

c. En distinguant n pair et n impair, décomposer F en éléments simples de R (X ) .

Exercice 2

Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I _n et S _n par les formules suivantes ¹ :

S n =

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

1 i + j + 1



 , I n = Z n

0

Z n 0

dy x + y + 1

dx

1. Donner une primitive de la fonction x → ln x puis de x → ln(x + K) où K est un réel xé.

2. Calculer I _n

3. Déterminer les constantes A , B , C , D gurant dans le développement de la suite (I _n ) _{n∈ N}

I n = An + B ln n + C + D n + o( 1

n ) 4. a. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {0, · · · , n − 1} ² : Z i+1

i

Z j+1 j

dy x + y + 1

dx ≤ 1 i + j + 1

b. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {1, · · · , n} ² : 1 i + j + 1 ≤

Z i i−1

Z j j−1

dy x + y + 1

dx

c. En déduire

I n ≤ S n ≤ I n−1 + 2

n

X

k=1

1 k 5. Montrer que la suite (S n ) _n∈N est équivalente à l'inni à 2n ln 2 . 6. Soit J n l'intégrale suivante :

J n = Z 1

0 n−1

X

k=0

x ^k

! ² dx

Établir une relation liant J _n et S _n . En déduire un équivalent de J _n à l'inni.

1

d'après Mines-Ponts 2003 MP1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Exercice 3

Soit n un entier naturel non nul. Tous les développements limités demandés sont en 0 . 1. Calculer un développement limité à l'ordre 2 de

t 7→ 1

1 + t + ^t _2!

+ · · · + ^t _n!

. 2. Calculer un développement limité à l'ordre n + 3 de

t 7→ ln

1 + t + t ²

2! + · · · + t ⁿ n!

. On pourra considérer la dérivée de cette fonction.

Exercice 4

Soit n un entier naturel non nul et k un entier relatif. On pose

P =

E(

)

X

p=0

(−1) ^p n

2p

X ^p

x k = (2k − 1)π 2n

1. Soit x un nombre réel qui n'est pas congru à ^π ₂ modulo π , montrer que

cos nx = cos ⁿ x e P (tan ² x)

2. Montrer que

tan ² x _k , k ∈ Z = n

tan ² x _k , k ∈ n

1, 2, · · · , E( n 2 ) oo 3. Déterminer l'ensemble des racines de P .

4. Soit m un entier naturel non nul, exprimer les sommes et produits suivants en fonction

de m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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