Chap 34 : Arcs
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Chap 34 : Arcs
2 3 ( , ) ( , , )
eae de dim ou rapporté à un SON i j ou i j k E
I. Langage
( , ) ( , )
( , )
Un arc est un couple où est une réunion finie d'intervalles non triviaux et est de classe p si est de classe p
I I I
I
C E
C C
: ( , )
( ) ( )
Reparamétrage : difféo de classe
Points simples/multiples/doubles...
p p
J I J
Supp I
C C
1
0 ( )0 '( )0 0 ( '( ), ( ))0 0
: M t point régulier si t birégulier si t t est libre
C
0 0
0 ( ) ( )
0 ( )
( ) 0 / ( ) 0 ( )
: si , avec minimal tangente dirigée par ( )
p p
p
M t p t p t
t
( ...) ( ...)
Dans les calculs d'équations : majuscules pour les eléments différentiels , majuscules pour les éléments tangents
x X
( ) ( ( ), ( )) ' 0 ( ) ' ( ) ' 0
Point régulier : Tangente : X x x' Normale :
t t x t y t X x x Y y y
Y y y
II. Etude locale
0
2 0
( , )I , t I tq Vect(( )n ( ))t
C
( ) ( ) (
0 0 0
0 0 0
)
( ) (
0 1 2
)
min{ * / ( ) 0}, min{ / ( ( ), ( )) }
( ), ( ) ( , ) ( ) ( ( ) (
) ! )
! ,
libre Dans la base ,
impair, pair im
k k p
p q
p q p q
p k t q k p t t
h h
v t w t v w M t M t h h v h h w
p q
p q p
h q
pairs p pair, impairq p q, pairs
3 3
0 0 0 1 2 3
1 2 1 3 2
2
3
3 ( ) ( ) ( ( ( )) ( 2 ( )) ( ( ))
( , ) ( , ) ( )
)
, Dimension : point trirégulier :
Selon : allure 1 (ordinaire) : inflexion : rebroussem
t t t h o h e h o h e h o h e
e e e e e e
h
ent 1
III. Abscisse curviligne
( , )I arc C à valeurs à ( n,can)
0
0 ( ) '( ) 2 ( \[ , ]) '( ) 2
L'abscisse curviligne sur d'origine est t La longueur de est a b b
t a
t s t s ds s ds
1
0 ( )
, '( ) 1 régulier. abscisse curv. sur d'origine : c'est un difféo de sur
est le reparamétrage normal de
s t I J s I
s s J s
C
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2 2 2 2 2 2 2 2
Cartésiennes : ds dx dy dz Polaires : ds d d
IV. Rayon de courbure
( , , ) ( , ) ( , )
plan affine euclidien orienté O i j I régulier, J son param. normal
E C
( ) ( ) '( ) ( ) rot /2( ( )) ( , , )( )
Le repère de Frénet en M s est : s s , s s M s est un RON direct ( ) (cos ( ),sin ( )) ( ) ( sin ( ),cos ( ))
On note s s s et s s s
, ( ) tq d ( ) ( ) ( ) est la courbure algébrique de en ( ) ( ) '( ) ( ) est
s J c s c s s c s M s c s s s
ds
C
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
Le rayon de courbure est R s ( ) Le centre de courbure est I s M s R s s
c s
2 2
2 2 3/2 2 3/2 2 3
3 2 /2
' "
' "
[ '( ), "( )] " 2 ' "
( ) ( ) ( ) ( )
( ' ' ) (1 ' ) ( ' )
' Si , En polaire :
x x y y
s s y
c s y f x c s c s
x y y
( ) ,, 2
3
1 1 2 '2 "
( ) ( ) ( ) ( )
Frénet :
I d d
c s s c s s
ds ds
2 0
0 2
0 0
3
' 1 "
0.
| ( ) | " ([0, ]) (0, )
courbe fermée dans de longueur Supp paramétrée par , périodique
Si , alors avec égalité
( ), IPP :
est un c C
ercle
L
L L
l
L s L
K c s
L
ds L B r L ssi
L
rK
C
S, et égalité : CScourbe plane, + CS
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Théorème de relèvement
1 { / | | 1}
S z z
V. Relèvement différentiable
( )
1 1 1
( )
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( ) 2
intervalle de , tq : ,
Si vérifie : , , alors ,
i t
i t
I f I S I t I f t e
I t I f t e k k
C C
C
0 0 0 0 0
0
( ) ( ( )
0
1 '( ) )
' ' ( ) ( ( ))' 0 ( )
( ) cte:
t i t i i i t
t
f i f t f u du e f t e f e f t e
i f u
1 1 ( )
( , *), ( , ) ( ) | ( ) |
Si f C I C I tq : t I f t, f t eit
En ajustant des constantes, on a la même chose pour les arcs C1pm
VI. Applications
( *, *) ( )2
Il n'existe pas de fonction gC tq : z , g z z
1 2
. : sur * par inversion loc. de relèvement en et 0 1
p abs gC z z
1
2
1
2
( ) " " 0 ( ) : ( '( ), ( )) (0,0) ( , ) ( , )
' cos sin ' cos sin sin(2 )
2
, sol non nulle de , tq
et
x ax bx x x t x t
x x b a
E E C C
( , ) régulier : ( , ) tq ( ) (cos ( ),sin ( )) ( ) d , ( ) ds
I I s s s c s R s
ds d
C C
( , ) ( ) ( ) tan
En polaire : v OM T (angle rayon-tangente), OM u v ', v