• Aucun résultat trouvé

Chapitre 34 Arcs

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Chapitre 34 Arcs"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

Chap 34 : Arcs

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1

Chap 34 : Arcs

2 3 ( , ) ( , , )

eae de dim ou rapporté à un SON i j ou i j k E

I. Langage

( , ) ( , )

( , )

Un arc est un couple où est une réunion finie d'intervalles non triviaux et est de classe p si est de classe p

I I I

I

 

 

 

C E

C C

: ( , )

( ) ( )

Reparamétrage : difféo de classe

Points simples/multiples/doubles...

p p

J I J

Supp I

  

 

 

C C

1

0 ( )0 '( )0 0 ( '( ), ( ))0 0

: M t point régulier si t birégulier si t t est libre

 C      

0 0

0 ( ) ( )

0 ( )

( ) 0 / ( ) 0 ( )

: si , avec minimal tangente dirigée par ( )

p p

p

M t p t p t

t

  

     

( ...) ( ...)

Dans les calculs d'équations : majuscules pour les eléments différentiels , majuscules pour les éléments tangents

x X

( ) ( ( ), ( )) ' 0 ( ) ' ( ) ' 0

Point régulier : Tangente : X x x' Normale :

t t x t y t X x x Y y y

Y y y

       

II. Etude locale

0

2 0

( , )I, t I tq Vect(( )n ( ))t

  C  

( ) ( ) (

0 0 0

0 0 0

)

( ) (

0 1 2

)

min{ * / ( ) 0}, min{ / ( ( ), ( )) }

( ), ( ) ( , ) ( ) ( ( ) (

) ! )

! ,

libre Dans la base ,

impair, pair im

k k p

p q

p q p q

p k t q k p t t

h h

v t w t v w M t M t h h v h h w

p q

p q p

h q

  

   

    

   

       

   

pairs p pair, impairq p q, pairs

3 3

0 0 0 1 2 3

1 2 1 3 2

2

3

3 ( ) ( ) ( ( ( )) ( 2 ( )) ( ( ))

( , ) ( , ) ( )

)

, Dimension : point trirégulier :

Selon : allure 1 (ordinaire) : inflexion : rebroussem

t t t h o h e h o h e h o h e

e e e e e e

   h      

ent 1

III. Abscisse curviligne

( , )I  arc C à valeurs à ( n,can)

0

0 ( ) '( ) 2 ( \[ , ]) '( ) 2

L'abscisse curviligne sur d'origine est t La longueur de est a b b

t a

t s ts dss ds

 

  

1

0 ( )

, '( ) 1 régulier. abscisse curv. sur d'origine : c'est un difféo de sur

est le reparamétrage normal de

s t I J s I

s s J s

   

  

   

C

(2)

Chap 34 : Arcs

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2

2 2 2 2 2 2 2 2

Cartésiennes : dsdxdydz Polaires : dsd  d

IV. Rayon de courbure

( , , ) ( , ) ( , )

plan affine euclidien orienté O i j   I régulier, J  son param. normal

E C

( ) ( ) '( ) ( ) rot /2( ( )) ( , , )( )

Le repère de Frénet en M s  est :  s  s ,  ss M   s est un RON direct ( ) (cos ( ),sin ( )) ( ) ( sin ( ),cos ( ))

On note  s   ss et  s    ss

, ( ) tq d ( ) ( ) ( ) est la courbure algébrique de en ( ) ( ) '( ) ( ) est

s J c s c s s c s M s c s s s

ds

   

        C

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

Le rayon de courbure est R s ( ) Le centre de courbure est I s M s R s s

c s

  

2 2

2 2 3/2 2 3/2 2 3

3 2 /2

' "

' "

[ '( ), "( )] " 2 ' "

( ) ( ) ( ) ( )

( ' ' ) (1 ' ) ( ' )

' Si , En polaire :

x x y y

s s y

c s y f x c s c s

x y y

    

 

 

    

  

( ) ,, 2

3

1 1 2 '2 "

( ) ( ) ( ) ( )

Frénet :

I d d

c s s c s s

ds ds

      

  

         

   

   

2 0

0 2

0 0

3

' 1 "

0.

| ( ) | " ([0, ]) (0, )

courbe fermée dans de longueur Supp paramétrée par , périodique

Si , alors avec égalité

( ), IPP :

est un c C

ercle

L

L L

l

L s L

K c s

L

ds L B r L ssi

L

rK

 

  

  

   

   

C

S, et égalité : CScourbe plane, + CS

(3)

Chap 34 : Arcs

Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 3

Théorème de relèvement

1 { / | | 1}

S   z z

V. Relèvement différentiable

( )

1 1 1

( )

( , ) ( , ) ( )

( , ) ( ) 2

intervalle de , tq : ,

Si vérifie : , , alors ,

i t

i t

I f I S I t I f t e

I t I f t e k k

   

     

       

C C

C

0 0 0 0 0

0

( ) ( ( )

0

1 '( ) )

' ' ( ) ( ( ))' 0 ( )

( ) cte:

t i t i i i t

t

f i f t f u du e f t e f e f t e

i f u

 

  

   

1 1 ( )

( , *), ( , ) ( ) | ( ) |

Si f C I   C I tq :  t I f t,  f t eit

En ajustant des constantes, on a la même chose pour les arcs C1pm

VI. Applications

( *, *) ( )2

Il n'existe pas de fonction gC tq :  z , g zz

1 2

. : sur * par inversion loc. de relèvement en et 0 1

p abs gC z z

1

2

1

2

( ) " " 0 ( ) : ( '( ), ( )) (0,0) ( , ) ( , )

' cos sin ' cos sin sin(2 )

2

, sol non nulle de , tq

et

x ax bx x x t x t

x x b a

 

       

      

    

E E C C

( , ) régulier : ( , ) tq ( ) (cos ( ),sin ( )) ( ) d , ( ) ds

I I s s s c s R s

ds d

     

     

C C

( , ) ( ) ( ) tan

En polaire : v OM T (angle rayon-tangente), OM   u v ',   v

      

Références

Documents relatifs

A l'intérieur de la courbe, l’équation différentielle (2.1) admet trois points d’équilibre, dont deux sont asymptotiquement stables et un est instable ; à

A la bifurcation, le point d’équilibre à l'origine devient instable et s'entoure d'un cycle limite stable dont l'amplitude (le rayon) augmente avec la

Pour d´ emontrer qu’une suite (u n ) n∈ N croissante tend vers +∞, il est classique de supposer que cette suite est major´ ee, elle converge alors vers un r´ eel L d’apr` es

I R´ecurrences lin´eaires d’ordre k 1 `a coefficients constants (solution analytique exacte). I R´ecurrences “diviser-pour-r´egner” (borne

Motivation : La complexit´e des algorithmes r´ecursifs est souvent calculable `a partir d’´equations r´ecurrentes.... Tours

[r]

Tous les objets mathématiques que vous manipulerez cette année (y compris les fonctions, ou même les nombres entiers par exemple) peuvent être vus comme des ensembles.. Là encore,

On remonte à la première dérivée n-ième qui n’est pas nulle..