vectoriels normés
I Une relation d’équivalence
SoitAune partie d’un espace vectoriel normé (E,k.k). Si (a,b)∈A2, on appelle
« chemin continu » joignantaàbdansAtoute application φ : [0, 1]7→E
vérifiant les trois propriétés suivantes :
•φest continue
• ∀t∈[0, 1] φ(t)∈A
•φ(0)=aetφ(1)=b
On définit surAune relation binaireR:
Définition Soit (a,b)∈A2. On dit queaRblorsqu’il existe un chemin continu joignantaàbdansA.
Proposition Rest une relation d’équivalence surA.
II Composantes connexes par arcs, connexité par arcs
Définition SoitAune partie d’un espace vectoriel normé de dimension fi- nieE. On appelle composantes connexes par arcs deAles classes d’équi- valence pour la relationRdéfinie précédemment. On dit queAest connexe par arcs lorsqu’il y a une unique composante connexe par arcs :A.
Rappel Les composantes connexes par arcs de Aforment une partition de
Exemples Une partie convexe, une partie étoilée d’un espace vectoriel normé sont connexes par arcs.
On dit que la partieA est étoilée lorsqu’il existe A∈A tel que
∀M∈A [AM]⊂A
III Parties de R connexes par arcs
Proposition Les parties deRconnexes par arcs sont les intervalles
Démonstration Deux ingrédients : le théorème des valeurs intermédiaires et le fait que les intervalles sont les parties convexes deR.
DansR, la connexité par arcs équivaut donc à la convexité. Il n’est pas difficile de se convaincre que ce n’est pas du tout vrai, par exemple, dansR2.
IV Image d’une partie connexe par arcs par une ap- plication continue
Proposition SoitE,F deux espaces vectoriels normés. Si φ : A⊂E→F
est continue et siAest connexe par arcs, alorsφ(A) est connexe par arcs.
(remarque : pour les ouverts et les fermés, c’est l’image réciproque par une ap- plication continue qui est ouverte ou fermée. Pour les compacts ou les connexes par arcs, c’est l’image directe par une application continue qui est compacte ou connexe par arcs)
Corollaire Siφest une application continue, définie sur une partieAconnexe par arcs, et à valeurs réelles, alorsφ(A) est un intervalle. Autrement dit, φvérifie la propriété des valeurs intermédiaires : s’il existea∈Atel que φ(a)=αetb∈Atel queφ(b)=β, alors, pour toutγ∈[α,β], il existec∈A tel queφ(c)=γ.
Remarque Si pour résoudre une question on a envie d’appliquer le théo- rème des valeurs intermédiaires, mais si on a une application (continue) qui n’est pas définie sur un intervalle deR, on peut penser à se demander si l’application ne serait pas, par hasard, définie sur une partie connexe par arcs d’un espace vectoriel normé.
V Ouverts et fermés dans un connexe par arcs (sup- plément h.p.)
Proposition, hp Soit A une partie connexe par arcs d’un espace vectoriel normé de dimension finieE. Les seuls ouverts et fermés relatifs deA(i.e.
les seules parties à la fois ouvertes et fermées pour la topologie induite surA) sont;etA.
Corollaire Une application continue localement constante sur une partie connexe par arcs est constante.
Démonstration de la proposition :SoitB une partie ouverte et fermée relative de A. SupposonsB6= ;, montronsB =A. On fixe un élémenta∈B. Soitb∈A quelconque, il s’agit donc de montrer queb∈B.
Soitφ : [0, 1]→Acontinu tel queφ(0)=aetφ(1)=b. Définissons D={t∈[0, 1] ; φ(t)∈B}=φ−1(B)
CommeB est ouvert et fermé relatif A,Dest ouvert et fermé relatif dans [0, 1]
(Explication : par définition de la topologie induite,B=Ω∩AoùΩest ouvert.
Commeφ est à valeurs dans A, φ−1(B)=φ−1(Ω)est ouvert dans [0, 1]. Idem pour « fermé »).
CommeD6= ;(0∈D),D admet une borne supérieured. Fermé (relatif ) d’un fermé,Dest fermé, doncd∈D.
CommeDest ouvert (relatif ) dans [0, 1],Dest voisinage (relatif ) de chacun de ses points dans [0, 1], en particulier voisinage (relatif ) de 0 dans [0, 1]. Il existe donc η>0 tel que ]−η,η[∩[0, 1] ⊂D. On peut supposerη<1 (d’ailleurs, si η=1, c’est fini !), on obtientd>0. Sid<1, commed∈D, on montre de même l’existence d’unη>0 tel que
ce qui contredit la définition de d. Doncd=1, ce qui montre que 1∈D, que b∈B, et conclut la démonstration.
Autre possibilité :La fonction caractéristiqueχdeB est définie surA et à va- leurs dansR, et siL est une partie deR,χ−1(L) ne peut être que l’une des par- ties suivantes :;, A,B,A\B, toutes ouvertes et fermées dansA. Donc l’image réciproque par χ de tout ouvert est un ouvert. Donc χ est continue (et c’est là le problème : ceci est la réciproque hors-programme d’un résultat du pro- gramme ! Pas très difficile à montrer, cela dit. Et c’est même la définition de la continuité, quand on travaille en topologie générale.). Doncχ(A) est connexe par arcs. Les deux seules parties de {0, 1} connexes par arcs sont {0} et {1}, on en déduit queχ(A)={1} (et alorsB=A) ouχ(A)={0} (et alorsB= ;).
VI Un résultat sur les fonctions de plusieurs variables
Théorème On désigne parE,F, deux espaces vectoriels normés de dimen- sion finie,U un ouvert deE. Soit f : U ⊂E−→F de classeC1. SiU est connexe par arcs, alors f est constante surU si et seulement si sa diffé- rentielle est nulle surU (ce qui équivaut à dire que toutes ses dérivées partielles sont nulles surU, ou, siF =R, que son gradient est nul surU).
Démonstration Si une application est constante, sa différentielle est nulle.
C’est la réciproque qui est intéressante.
Supposons, donc, la différentielle de f nulle surU.
Sur toute boule ouverteB(x,r) (r >0) incluse dansU, f est constante, car une boule ouverte est convexe et on a déjà résolu le problème pour les ouverts convexes (C12, p30).
Soit (a,b)∈U2,φun chemin continu joignantaàbdansU. Notons A={t∈[0, 1] ; f ¡
φ(t)¢
=f(a)}
On doit montrer que 1∈A(i.e. f(b)=f(a)) ou plutôt queA=[0, 1]. Si ce n’est pas le cas, soitB =[0, 1]\A. Borné et supposé non vide,Baurait une borne inférieureτ. Notonsφ(τ)=c.
Il exister>0 tel que surB(c,r), f soit constante. Par continuité deφ, il existeδ>0 tel que
∀t∈[0, 1] τ−δ<t<τ+δ =⇒ φ(t)∈B(c,r)
Supposons, pour plus de simplicité, 0<τ<1. On peut alors imposer que δ soit tel que ]τ−δ,τ+δ[⊂[0, 1] (il suffit de diminuer éventuellement la valeur de δ). Alors, sur ]τ−δ,τ+δ[, f ◦φ serait constante. Mais il y a dans cet intervalle ]τ−δ,τ+δ[ des nombres qui ne sont pas dansB, donc dansA, donc f ◦φvaut f(a) sur ]τ−δ,τ+δ[, et doncτ−δminore B, contradiction !
Reste à éliminer les casτ=0 etτ=1. Nettement moins technique.
Table des matières
I Une relation d’équivalence 1
II Composantes connexes par arcs, connexité par arcs 1
III Parties de R connexes par arcs 2
IV Image d’une partie connexe par arcs par une application continue 2 V Ouverts et fermés dans un connexe par arcs (supplément h.p.) 3 VI Un résultat sur les fonctions de plusieurs variables 4
