PC Maths Analyse III 2018-2019
TD1 - Int´ egrales de fonctions continues par morceaux ` a valeurs vectorielles
Exercice 1. Soit f d´efinie sur [0,1] par
f(x) =
0 si x= 0 x2E
1 x
si x >0
1. Montrer que f est continue par morceaux sur ]0,1].
2. Montrer que f n’est pas continue par morceaux sur [0,1].
3. Montrer que f est continue par morceaux
Exercice 2. Montrer que toute fonction continue par morceaux sur un segment [a, b] est born´ee.
Exercice 3. Calculer `a l’aide des sommes de Riemann les quantit´es suivantes.
1. limn→∞Pn k=1
n+k n2+k2
2. Le produit
n→∞lim 1 n
n
Y
k=1
(k+n)
!n1 .
Exercice 4. Soit T > 0. On rappelle qu’une fonctionf :R→F estT-p´eriodique si
∀x∈R, f(x+T) =f(x).
1. Donner un exemple de fonction `a valeurs r´eelles, T-p´eriodique, et non constante.
2. On suppose que f est `a valeurs r´eelles. Montrer que
∀(a, b)∈R2, Z b
a
f(t)dt= Z b+T
a+T
f(t)dt et
Z a+T a
f(t)dt = Z b+T
b
f(t)dt
1
3. Montrer le mˆeme r´esultat lorsquef est `a valeurs dans un espace vectoriel de dimen- sion finie F.
Exercice 5. Soient E etF deux espaces vectoriels norm´es, etf une application lin´eaire deE dans F.
1. Montrer que si f est continue en 0, il existe C > 0 telle que ∀x ∈ E, kf(x)kF ≤ CkxkE.
2. En d´eduire que f est continue surE si et seulement si cette condition est satisfaite.
3. On noteL(E, F) l’ensemble des applications lin´eaires continues deE dansF. Mon- trer que c’est un espace vectoriel.
4. Pour f ∈ L(E, F), on pose kfk = supkxk
E≤1kf(x)kF. Montrer que kfk est une norme sur L(E, F).
5. (Hors programme). Montrer que si F est un espace de Banach, alors L(E, F) est aussi un espace de Banach.
Exercice 6. SoitKune partie ferm´ee born´ee deRN etE un espace vectoriel de dimension finie. Soit f une application de K dans E. On consid`ere la propri´et´e suivante :
(P) ∀ε >0, ∃η >0, ∀x, x0 ∈K, |x−x0 |≤η⇒ kf(x)−f(x0)k ≤ε.
1. Montrer que si f satisfait (P), alorsf est continue.
2. Exprimer la n´egation de (P).
3. En d´eduire que si (P) n’est pas satisfaite, il existe ε > 0 et deux suites xn, x0n convergeant vers la mˆeme limite, et telles quekf(xn)−f(x0n)k> ε.
4. En d´eduire que toute fonction continue de K dans E satisfait (P).
5. En d´eduire que pour tout f ∈C0([a, b];E) il existe une suite fn ∈ E([a, b];E) telle quekfn−fk∞→0.
6. (Plus dur) On munit C0(K;E) de la normek.k∞. Montrer que C0([a, b]×K;E) = C0([a, b];C0(K;E)).
Exercice 7. Soit F un espace vectoriel de dimension finie, et soit f ∈ E([a, b];F). On poseg(x) = f(a+x(b−a)).
1. Montrer que g ∈ E([0,1];F).
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2. Montrer que R
[0,1]g(x)dx= b−a1 R
[a,b]f(t)dt.
3. Montrer que ce r´esultat est vrai si f ∈CM([a, b];F).
Exercice 8. On munit RN de la norme euclidienne. Soit f ∈ CM([a, b];RN). Montrer quekR
[a,b]f(t)dtk=R
[a,b] kf(t)kdtsi et seulement si il existe un ensemble finiX ⊂[a, b], et un vecteur unitaireV ∈RN tels que pour tout t∈[a, b]\X, f(t) =kf(t)kV.
Exercice 9. Soit g ∈CM([0,1];E). Pour n ∈N∗, on pose Sn(g) = 1
n
n
X
k=1
g(k n).
1. Montrer que Sn est une application lin´eaire.
2. Montrer que kSn(g)k≤kg k∞.
3. SiA ⊂R, on rappelle que la fonction indicatrice de A, not´ee 1A, d´esigne la fonction telle que 1A(x) vaut 1 six∈Aet 0 sinon. Soitγ ∈[0,1]. Montrer queSn(1{γ})→0, n→ ∞.
4. Soient 0 ≤α < β ≤1. On pose An = [nα] + 1, Bn= [nβ]. Calculer Sn(1]α,β]), puis limn→∞Sn(1]α,β]).
5. Soit g ∈ E([0,1];E). Ecrire g comme somme d’indicatrices. En d´eduire que pour tout g ∈ E([0,1];E) on a limn→∞Sn(g) =R
[0,1]g(t)dt.
6. Soit a < b deux r´eels quelconque. Soit f ∈ E([a, b];E). Pour n ∈N∗, on pose cette fois
Sn(f) = b−a n
n
X
k=1
f(a+ k
n(b−a)).
Montrer que limn→∞Sn(f) =R
[a,b]f. On pourra se ramener `a la question pr´ec´edente
`
a l’aide de l’exercice 7.
Exercice 10. (M´ethode des rectangles)
1. Soit f ∈C0([a, b];E) telle qu’il existe K ≥0 tel que
∀t, s∈[a, b], kf(t)−f(s)k≤K |t−s |. Montrer que
kSn(f)− Z
[a,b]
f k≤K(b−a)2 2n . 2. Soit f ∈C1([a, b];E). Montrer que
kSn(f)− Z
[a,b]
f k≤ kf0k∞(b−a)2 2n .
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