Fonctions continues par morceaux

Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques Page 1

Cours Intégration sur un segment PC

Cadre :  désigne  ou . Les fonctions considérées sont à valeurs dans 

I : Fonctions continues par morceaux.

Question 1 : Rappeler les définitions d’un segment et d’un intervalle de .

Question 2 : Est-ce qu’il existe une différence entre segment et intervalle borné ? Rappel : Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Définition 1 (sur un segment)

Soient (a,b) ² tel que a < b et f 

  

^{a,b ,}



. On dit que f est continue par morceaux sur [a,b] si et seulement s’il existe n^* et (a₀,…,an) [a,b]ⁿ⁺¹ tel que :

 a=a₀ <…< a_n=b

Pour tout i  {0,…,n1}, la restriction de de f à ]a_i , a_i+1[ est continue sur ]a_i , a_i+1[ et admet une limite finie en a_i à droite et une limite finie en a_i+1 à gauche.

Exemples :  Pour tout i  {0,…,n1}, la restriction de de f à ]a_i , a_i+1[ est constante. Dans ce cas f est une fonction en escalier.

Question 3 : Toute fonction est continue par morceaux sur le segment [a,b]

Définition 2 (sur un intervalle quelconque)

Soient I un intervalle quelconque de  tel que a < b et f 



^{I ,}



. On dit que f est continue par morceaux sur I si et seulement si, pour tout (a,b) I ² tel que a <b, f _{ a b,} est continue par morceaux sur [a,b].

Exemple: ^{x E x}

 

^,

Remarque : Une fonction continue par morceaux sur un segment n’admet qu’un nombre fini de points de discontinuité.

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle peut admettre une infinité de points de discontinuité (même si cet intervalle est borné)

Question 4 :Tracer la courbe représentative de f : ]0 ;1]  définie par : f (1)=1 et n,

 

¹ pour ¹₁ ¹

2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ

f x  _ x

Notation : On note



^{I ,}



^{ou 0}



^{I ,}



l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur l’intervalle I.

a=a0 a1 a2 a3 a4=b a=a0 a1 a2 a3 a4=b

Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques Page 2 Proposition 1 :





^{I ,}



est un sous espace vectoriel du -espace vectoriel



^{I ,}







^{I ,}



est stable par le produit de fonctions.

Question 5 : Donner des exemples de sev de



^{I ,}



II : Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

Remarque : en sup vous avez défini et étudié ^b

a f



où f est une fonction continue sur segment [a, b].

Définition 3 (sur un segment) : Soient (a,b) ² tel que a < b et f 

  

^{a,b ,}



. f une continue par morceaux sur [a,b] telle qu’il existe n^* et (a0,…,an) [a,b]ⁿ⁺¹ tel que :  a=a0 <…< an=b Pour tout i  {0,…,n1}, la restriction de de f à ]ai , ai+1[ est continue sur ]a_i , a_i+1[ et admet une limite finie en a_i à droite et une limite finie en a_i+1 à gauche.

1

1

0

i i

b n a

a a

i

f ^ f









 

Remarque : De façon rigoureuse, on utilise les fonctions en escalier pour définir

b a f



Remarque : L’intégrale d’une fonction ne dépend pas d’un nombre fini de valeurs de f.

 Si a < b et f 

  

^{a,b ,}



^alors



_a^bf



_a^{b f}

 Par définition, si a < b, ^{a b}

b f   a f

 

^et



a^a f ⁰

 Si f 



^{I ,}



alors : pour tout (a, b, c)  I³,

b c b

a f  a f  c f

  

(relation de Chasles)

 Pour f 

  

^{a,b ,}



^{, g }

 ^{ }

^{a,b ,}



^{et  alors}



_a^{b f }

^

^g



_a^{bf }

^ 

_a^bg (linéarité)

 Pour a < b et f , g

  

^{a,b ,}



^{, si ( x}

^{ }

^{a b,} , f(x)  g(x) ) alors ^{b b}

a f a g

 

(positivité)

 Pour f 

  

^{a,b ,}



^{, b}

^{ }

^bRe

 ^{ } 

^bIm

   

a f t dt a f t dti a f t dt

  

 Pour a<b et f 

  

^{a,b ,}



telle que f  0 et il existe x₀ tel que f soit continue en x₀ et f(x₀) > 0 alors ^b 0

a

f 



Théorème 2 : (théorème fondamental de l’analyse) f : I   continue sur l’intervalle I et x₀ I

0

: ( )

x x

F x



f t dtest une primitive C¹ de f (pour tout xI, F'(x) = f (x)) L’ensemble des primitives de f est



F , 



F est la primitive de f qui s’annule en x₀.