Une fonction T-p´eriodique est dite de classe Ck par morceaux (k ∈ N) si sa restriction au segment [0, T] est de classe Ck par morceaux, c’est-`a-dire s’il existe une subdivision (a0

L2 - cursus pr´epa. Fiche de coursS´eries de Fourier (20-27 mars & 3 avril) On appelle p´eriode d’une fonctionf :R→Ctout nombre r´eelT tel que

∀t∈R, f(t+T) =f(t).

On dit que f est p´eriodique si elle admet une p´eriode non nulle, et plus pr´ecis´ement qu’elle est T- p´eriodique siT est une p´eriode strictement positive.

L’ensemble FT :={f :R→C; ∀t∈R, f(t+T) =f(t)}des fonctions T-p´eriodiques est un espace vectoriel, de mˆeme que, quel que soit a∈R, l’ensemble F([a, a+T[) des fonctionsg: [a, a+T[→C, et l’application

FT → F([a, a+T[) f 7→ f_|[a,a+T[ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Une fonction T-p´eriodique est dite de classe C^k par morceaux (k ∈ N) si sa restriction au segment [0, T] est de classe C^k par morceaux, c’est-`a-dire s’il existe une subdivision (a0, . . . , an) de [0, T] telle que, pour tout j ∈ {0, . . . , n−1}, la restriction de f_]aj,aj+1[ admette un prolongement de classeC^k. (La fonction tann’est pas continue par morceaux.) Sigest de classeC^kpar morceaux (k∈N) sur un segment [a, a+T], il existe une unique fonction f qui soit T-p´eriodique, de classe C^k par morceaux et co¨ıncidant avec gsur [a, a+T[. (En g´en´eral,f estseulementde classeC^k par morceaux mˆeme si g est de classeC^k.)

• Toute fonction p´eriodiquecontinue par morceaux est born´ee.

• Toute fonction p´eriodique continue estuniform´ement continue.

• Soitf :R→C,T-p´eriodique et continue par morceaux. Alors pour tout r´eel aon a Z a+T

a

f(t)dt= Z T

0

f(t)dt .

Etant donn´´ ees deux fonctions f etg:R→C T-p´eriodiques et continue par morceaux, on note hf, gi:= 1

T Z T

0

f(t)g(t)dt , kfk₂ :=p hf, fi,

et l’on a :

kf +gk₂≤ kfk₂+kgk₂(in´egalit´e triangulaire),|hf, gi| ≤ kfk₂kgk₂(in´egalit´e de Cauchy–Schwarz).

Si l’on note E_n :t7→ e^int pour n∈Z, C_n :t7→cos(nt) pour n∈N et S_n:t7→sin(nt) pour n∈N^∗, la famille de fonctions {E_n; n ∈ Z} est orthonorm´ee dans l’espace C_2π⁰ des fonctions continues 2π- p´eriodiques muni de h·,·i pour T = 2π, et la famille {C_n; n ∈ N} ∪ {S_n; n ∈ N^∗} est orthogonale dans ce mˆeme espace, avec

kC₀k₂ = 1, kC_nk₂ =

√2

2 ∀n∈N^∗, kS_nk₂ =

√2

2 ∀n∈N.

On appelle polynˆome trigonom´etrique toute combinaison lin´eaire (finie) d’´el´ements de la famille {E_n; n∈Z}. Pour tout polynˆome trigonom´etriqueP, il existep∈Ntel que

P =

p

X

n=−p

cnEn, cn:=hE_n|Pi,

NB: Il faut savoird´efinir les notions en rouge etd´emontrer les ´enonc´es enbleu.

L2 - cursus pr´epa. Fiche de coursS´eries de Fourier (20-27 mars & 3 avril) ou de fa¸con ´equivalente,

P = a₀ 2 +

p

X

n=1

(a_nC_n+b_nS_n), a_n:=c_n+c−n= 2hC_n|Pi, b_n:=i(c_n−c−n) = 2hS_n|Pi. On a de plus

kPk²₂=

p

X

n=−p

|c_n|² = |a₀|² 4 + 1

2

p

X

n=1

(|a_n|²+|b_n|²).

On appelles´erie trigonom´etriquetoutes´erie de fonctions de la forme Σ(cnEn+c−nE−n), aveccn∈C pour tout n ∈ Z, que l’on note g´en´eralement comme une s´erie bilat`ere P

n∈Zc_nE_n. (Lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e on omet d’´ecrire n∈Z.)

Une s´erie trigonom´etriqueP

cnEnest normalement convergente si et seulement si la s´erie num´erique P(|c_n|+|c_−n|) converge, ou de fa¸con ´equivalente, la s´erie num´erique P

n≥1(|a_n|+|b_n|) d´efinie par an:=cn+c−n, bn:=i(cn−c−n), converge.

Si f :R→C est 2π-p´eriodique et continue par morceaux, on d´efinit sescoefficients de Fourier par cn(f) :=hE_n|fi = 1

2π Z π

−π

f(t)e^−intdt , n∈Z,

an(f) := 2hC_n|fi = 1 π

Z π

−π

f(t) cos(nt) dt , n∈N,

bn(f) := 2hS_n|fi = 1 π

Z π

−π

f(t) sin(nt) dt , n∈N,

de sorte que, pour toutn∈N,

a_n(f) =c_n(f) +c−n(f), b_n(f) =i(c_n(f)−c−n(f)), cn(f) = an(f)−ibn(f)

2 , c−n(f) = an(f) +ibn(f)

2 .

X Sif est `a valeursr´eelles, ses coefficients trigonom´etriquesa_n(f) etb_n(f) sont tous r´eels.

X Sif est paire, ses coefficients bn(f) sont tous nuls.

X Sif est impaire, ses coefficientsan(f) sont tous nuls.

X Sif :t7→f(t),c_n(f) =c−n(f).

X Si ˇf :t7→f(−t), cn( ˇf) =c−n(f).

X Sifa:t7→f(t+a) (aveca∈R),cn(fa) = e^inacn(f).

X On a :|c_n(f)| ≤ kfk₁ ≤ kfk₂ ≤ kfk∞,o`ukfk₁ = _2π¹ R2π

0 |f(t)|dt,kfk₂ = 1

2π

R2π

0 |f(t)|²dt 1/2

, kfk_∞= max{|f(t)|;t∈[0,2π]}.

Si f :R → C est 2π-p´eriodique et continue par morceaux, on d´efinit sa s´erie de Fourier comme la s´erie trigonom´etrique P

cn(f)En, qu’on ´ecrit souvent¹ Xcn(f)e^int, ou encore a0(f)

2 + X

n≥1

(an(f)cos(nt) + bn(f) sin(nt)).

1. avec le mˆeme abus de notation que pour les s´eries enti`eres, sans fl`eche bien que ce soit une s´erie de fonctions et non une s´erie num´erique.

NB: Il faut savoird´efinir les notions en rouge etd´emontrer les ´enonc´es enbleu.

L2 - cursus pr´epa. Fiche de coursS´eries de Fourier (20-27 mars & 3 avril) En notant S_p(f) les sommes partielles de sa s´erie de Fourier, c’est-`a-dire

S_p(f) :t7→

p

X

n=−p

c_n(f)e^int = a₀(f)

2 +

p

X

n=1

(a_n(f)cos(nt) + b_n(f) sin(nt)),

on a, pour tout p ∈ N, hf −S_p(f)|E_mi = 0 quel que soit m ∈ Z tel que |m| ≤ p. En particulier, hf−S_p(f)|S_p(f)i= 0, ce qui implique l’in´egalit´e de Bessel :

kS_p(f)k₂ ≤ kfk₂. De plus, les s´eries num´eriquesP

|c_n(f)|² (bilat`ere) et P

(|a_n(f)|²+|b_n(f)|²) convergent et l’on a

+∞

X

n=−∞

|c_n(f)|² = |a₀(f)|²

4 + 1

2

+∞

X

n=1

(|a_n(f)|²+|b_n(f)|²) ≤ kfk²₂. Par suite, lim

|n|→+∞c_n(f) = 0, lim

n→+∞a_n(f) = 0, lim

n→+∞b_n(f) = 0.

Lemme de Riemann-Lebesgue. Sif est une fonction continue par morceaux sur le segment [a, b]

alors on a

n→+∞lim Z b

a

f(t) e^intdt = 0.

Si f :R→Cest 2π-p´eriodique et de classe C^k (pourk∈N) alors ses coefficients de Fourier v´erifient c_n(f^(k)) = (in)^kc_n(f), et par cons´equent

c_n(f) =o 1

|n|^k

, |n| →+∞. Si une s´erie trigonom´etrique P

γnEn converge uniform´ement sur R alors sa somme f est continue, 2π-p´eriodique, et ses coefficients de Fourier sont pr´ecis´ementc_n(f) =γ_n.

Th´eor`eme de Dirichlet.Sif :R→Cest 2π-p´eriodique, continue par morceaux, et telle que t7→ f(t)−f(t⁻₀)

t−t₀ et t7→ f(t)−f(t⁺₀) t−t₀

ont une limite respectivement quand t% t₀ et quandt& t₀, o`u f(t<sup>−</sup><sub>0</sub>) d´esigne la limite `a gauche de f en t0 etf(t⁺₀) sa limite `a droite, alors la s´erie de Fourier de f converge en t0 et

+∞

X

n=−∞

c_n(f)e^int0 = f(t⁻₀) +f(t⁺₀)

2 .

Th´eor`eme de convergence normale. Sif :R→C est 2π-p´eriodique, de classe C¹ par morceaux et continue alors la s´erie de Fourier def est normalement convergente et sa somme est f.

Th´eor`eme de Parseval.Sif :R→Cest 2π-p´eriodique et continue par morceaux alors la suite des sommes partielles (S_p(f))p∈N de la s´erie de Fourier de f est telle que

p→+∞lim kS_p(f) − fk₂ = 0, et

p→+∞lim kS_p(f)k²₂ =

+∞

X

n=−∞

|c_n(f)|² = |a₀(f)|²

4 + 1

2

+∞

X

n=1

(|a_n(f)|²+|b_n(f)|²) = kfk²₂.

NB: Il faut savoird´efinir les notions en rouge etd´emontrer les ´enonc´es enbleu.

L2 - cursus pr´epa. Fiche de coursS´eries de Fourier (20-27 mars & 3 avril) Th´eor`eme d’approximation en moyenne quadratique. Si f : R → C est 2π-p´eriodique et continue par morceaux, quel que soit ε >0, il existe un polynˆome trigonom´etriqueP tel que

kf−Pk₂ ≤ε .

Th´eor`eme de Weierstrass trigonom´etrique. Si f : R → C est 2π-p´eriodique et continue, quel que soit ε >0, il existe un polynˆome trigonom´etriqueP tel que

kf−Pk_∞≤ε .

NB: Il faut savoird´efinir les notions en rouge etd´emontrer les ´enonc´es enbleu.