Fonctions continues sur un intervalle: Théorème de bijection

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L.S.El Riadh

Fonctions continues sur un intervalle: Théorème de bijection

Mr Zribi

4^ème Maths Exercices

2010-2011

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Exercice 1:

Soit f la fonction définie par : f x( )x³x²3x1

1/ Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera

2/ Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution  ¹, 0 3

 

  

Exercice 2:

Soit f la fonction définie sur [0,1] par f x( )2 xx.

1/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 , à gauche en 1 et déterminer le domaine de dérivabilité de f .

2/ Etudier les variations de f et montrer que f réalise une bijection de [0,1] sur un intervalle que l’on précisera.

3/ Déterminer l’expression de f ^-1

4/ Etudier la dérivabilité de f ^-1 et déterminer sa fonction dérivé.

Exercice 3:

Soit la fonction f définie par f x( ) 4x² x 2x1

1/ a) Etudier la continuité de f sur son domaine de définition b) déterminer le domaine de dérivabilité de f puis calculer f’(x).

2/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR₊ sur un intervalle J que l’on déterminera .

b) Etudier la dérivabilité et la continuité de f ^-1sur J . 3/ Expliciter f ^-1(x) pour tout x de J

4/ Montrer que l’équation f(x)=2 admet dans IR⁺ une solution unique  0,¹

2

 

  

Exercice4:

Soit f la fonction définie sur D= 0, 2

 

 

 par ( ) ¹ f x cos

 x. 1/ a) Montrer que f est dérivable sur D .

b) Etudier les variations de f et montrer qu’elle réalise une bijection de 0,

2

 

 

 sur un intervalle I que l’on précisera

2/ étudier la dérivabilité de f^-1 en 1 . 3/ Montrer que f ^-1 est dérivable sur I\{1 } et calculer (f ^-1)’(x)

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Exercice 5:

 f est la représentation graphique d’une fonction f dans un repère orthonormé ( , , )O i j .

1/ a)Déterminer le domaine de définition Df de f

b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaines Df . 2/ f est elle dérivable à gauche en 2? Justifier ta réponse.

3/ dresser le tableau de variation de f . 4/

a) Montrer que f est une bijection de Df sur un intervalle J que l’on déterminera .

b) f^-1 est elle dérivable à droite en 0? Justifier ta réponse.

c) Compléter la figure par la courbe  ' de f^-1.

 f

Exercice 6:

Soit f la fonction définie par : f x: x²2xx. 1/ Déterminer le domaine de définition Df de f . 2/ Montrer que f est dérivable sur



^{ }^{, 2}

 

^0,^



3/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat trouvé .

4/ Dresser le tableau de variation de f sur



^0,



5/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur l’intervalle J que l’on précisera.

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b) Exprimer f ^-1(x) pour tout x de J . Exercice 7:

Soit f : ]-,[  R x  tg (

2 x )

1/ montrer que f est dérivable sur ]- , [et calculer sa fonction dérivée.

2/ étudier les variations de f.

3/ démontrer que f est une bijection de ]-,[ surIR. calculer f ^-1(1) et (f ^-

1)’(1).

4/ démontrer que f^-1 est dérivable sur IR et expliciter (f^-1)’(x) pour tous x

R.

Retrouver (f^-1)’(1).

Exercice 8:

I- g est la fonction définie sur IR par :

( ) 1 2

1 g x x

x

  



1/ Déterminer les limites de g en + et en -. 2/ Montrer que g est dérivable surIR.

3/ Dresser le tableau de variation de g .

4/ Montrer que g est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera

II- Soit f la fonction définie sur IR par : f x( )   x 2 x²1

1/ Déterminer les limites de f en + et en -. 2/ Dresser le tableau de variation de f .

3/ Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle I que l’on précisera

4/ Montrer que l’équation f(x) = 4 admet une unique solution dans ]-2, 0[

5/ Déterminer f ^-1(3) et (f ^-1)’(3)

6/ Expliciter l’expression de f ^-1(x) pour x de I . Exercice 9:

Soit f la fonction définie par : f x( )2x 4x²1. I/

1/ Déterminer Df.

2/ Montrer que f est dérivable sur ¹, 2

 

 

 puis calculer f’(x)

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3/ Etudier la dérivabilité de f à droite en ¹

2 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

II/ Pour tout x de 0, 2

 

 

 , on pose ( ) ¹

2 cos

h x  x et ^{g x}^{( )}^



^{f h x}^



^{( )}^.

1/ Montrer que h est dérivable sur 0, 2

 

 

 . 2/ Déterminer h< 0,

2

 

 

 > .

3/ a)Montrer que g est dérivable sur 0, 2

 

 

 

b) prouver que g'(x)=^{1 sin}

cos ² x x

 ; pour tout x 0, 2

 

 

 

5/ Montrer que g réalise une bijection de 0, 2

 

 

 sur un intervalle que l’on précisera