Fonctions continues sur un intervalle

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚11

Fonctions continues sur un intervalle

F Exercice 163 : Soitf une fonction continue de [0 ; 1] dans lui-mˆeme. Montrer quef admet au moins un point fixe, c’est-`a-dire un pointx0tel que f(x0) =x0.

Indication :consid´erer la fonction auxiliaireg:x7→f(x)−x.

Exercice 164 : Soitf:R→Rune application continue telle que :

∀x∈R f(x)²= 1.

Montrer que soitf(x) = 1 pour toutx∈R, soit f(x) =−1 pour toutx∈R.

Exercice 165 : Montrer que l’´equationx³−3x=−1 admet une solution dans l’intervalle [0 ; 1].

Exercice 166 : Montrer que l’´equation ln(x) =x−3 admet une solution dans l’intervalle ]0 ; 1[.

F Exercice 167 : SoitP un polynˆome `a coefficients r´eels, de degr´e impair. Montrer queP poss`ede une racine dansR.

Exercice 168 : Soitf la fonction d´efinie sur [0,+∞[ parf(x) = x³

2 +x³ pour toutx∈[0,+∞[.

1. Montrer que la fonction g: [0,+∞[→R, x7→ x

2 +x est strictement croissante sur [0,+∞[.

2. En d´eduire quef est strictement croissante sur [0,+∞[.

3. D´eterminer l’image def.

4. D´emontrer que pour toutλ∈[0,1[, l’´equationf(x) =λadmet une unique solution dans [0,+∞[.

5. Soitλ∈[0,1[. R´esoudre explicitement l’´equationf(x) =λen utilisant la fonction racine cubique.

Exercice 169 : Soitf: [2 ; +∞[→R, x7→√

x²−4x+ 8.

1. ´Etudier les variations de f. 2. D´eterminer l’image def.

3. Montrer quef r´ealise une bijection de [2 ; +∞[ sur son image. La fonctionf⁻¹:f([2 ; +∞[)→[2 ; +∞[

est-elle continue ?

4. D´eterminer la bijection r´eciproque.

Exercice 170 : Soitf: i

−π 2,π

2

h→R, x7→tan(x).Montrer quef r´ealise une bijection dei

−π 2,π

2 h

surR.

1

F Exercice 171 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x7→ x 1 +|x|

Montrer quef r´ealise une bijection deRsur son image (que l’on pr´ecisera) et d´eterminer sa bijection r´eciproque f⁻¹.

F Exercice 172 : Un promeneur parcourt 6 km exactement en 1 heure. Montrer qu’il existe un intervalle de longueur 30 min durant lequel il parcourt exactement 3 km.

Indication : On pourra introduire la fonction

d: [0,60]→[0,6], t7→distance parcourue pendant lest premi`eres minutes que l’on supposera continue.

Exercice 173 : Mettre dans chaque case du tableau, lorsque cela est possible, une fonction continue d´efinie sur l’intervalle plac´e en d´ebut de ligne et dont l’image est exactement l’intervalle plac´e en haut de la colonne.

Justifier les cases vides.

R [1,2] ]1,+∞[ [1,2[ ]1,2[ [1,+∞[

[0,1]

]0,+∞[

[−1,1[

]0,2[

[1,+∞[

R

2