Prof : Fehri Bechir
Devoir de contrôle
4ème Sc 1&2 N°1
MATHEMATIQUES
U
Exercice N°1: ( 5 pts )
On donne la fonctions f définie sur IR , et la fonction g définie sur ] 0 ,+ ∞[ dont les courbes représentatives
Cf et Cg ci dessous .
Cf Cg
1/Compléter
→−∞ →+∞
+ →+∞
→
= =
= =
=
0
lim ( ) ... lim ( ) ...
lim ( ) ... lim ( ) ...
(4) ... g(1)=...
x x
x x
f x f x
g x g x
f
La fonction f admet un minimum ………..en …… de valeur ……..
2/ Soit la fonction définie sur ]- ∞,1[ ∪]3,+∞[ par h x( ) = gof x ( ) . b- Calculer h(4) ... h(0)=... = c- Calculer
lim ( ) ... lim ( ) ... lim ( ) ... 3
x h x x h x x +h x
→−∞ = →+∞ = → =
3/ Déterminer f( ]- ∞,0[ ) = ……… g ( ]3,+∞[ ) = ………
h( ]- ∞,0[ ) ……… h( [0, 1[ ) = ………..
Exercice № 02(5points)
Soit f la fonction définie sur IR par :
2 2
1 cos
2 0 ( )
0
4( 1 1)
x x
x six
f x x
six x
+ ≥
+
=
+ −
1) Montrer que f est continue en 0
2) a/ Montrer que pour tout réel positif x on a : 1 ( ) 1
2 2
x x
x f x x
− ≤ ≤ +
+ +
b/ En déduire la limite de f x( ) en +∞
3) Déterminer, en justifiant la réponse
0
lim ( 1 )
x f
+ x
, les limites suivantes : → et
2
lim (1 sin )
x πf x
→ −
4) a/ Montrer que l’équation f x( )=0 admet dans π2,π une solution qu’on notera α
b/ Montrer que tan( )α = − α−1
Exercice № 03(5points)
1-a/ Vérifier que : (1+ 3+2 )i 2 =2 3+4 (1i + 3)
b/ Résoudre alors dans C l’équation :z2− +(3 3)z +( 3 1)( 3+ − =i) 0 et mettre les solutions sous forme algébrique
2-Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (unité graphique 2cm) on considère les pointsA B; et Ω d’affixes respectives zA = −1 i
2 3
zB = + +i et zΩ =2
Soit ζ le cercle de centre Ω et de rayon 2
a/ Vérifier que B ∈ζ
b/ Placer les points A et Ω .Construire alors le point B
3-a/ Ecrire zA sous forme exponentielle b/ Ecrire B
A
z
z sous forme algébrique c/ Montrer que B (1 3) i3
A
z e
z
= + π
d/ En déduire la forme exponentielle de zB
e/ Déterminer alors la valeur exacte de sin( )12π
Soit la fonction f définie sur [-2, +∞[ par : f(x) = x-1 + √𝑥𝑥 + 2.
Exercice № 04(5points)
1) a) Montrer que f est continue sur [-2, +∞[.
b) montrer que f est strictement croissante sur [-2, +∞[.
2) a) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans ]-1, 0[ une unique solution 𝛼𝛼.
b) Donner un encadrement de 𝛼𝛼 a 10−2 près.
3) donner le signe de f(x) sur [-1, 0].
4) a) Montrer que : α2- 3α- 1 = 0 b) En déduire la valeur exacte de α.
5) Calculer lim𝑥𝑥→+∞ 𝑓𝑓 �𝑥𝑥2(1−cos𝜋𝜋𝑥𝑥)� et lim𝑥𝑥→1𝑓𝑓 �cos𝑥𝑥−1𝜋𝜋2𝑥𝑥�
