ECS1
Exercices: Extrema et convexité
Exercice 1. Étudier les bornes de la fonction dénie de[0,1]dansRpar∀x∈[0,1], f(x) =xp
1−x2.
Exercice 2. Étudier les bornes de la fonction dénie deR+dansRpar∀x∈R+, f(x) = x(x−1)213
.
Exercice 3. Soit(a, b)∈R2 tels quea(a+b)>0. Étudier les bornes de la fonction dénie de R+ dans Rpar
∀x∈R+,
f(x) = bx x2+a(a+b).
Exercice 4. Préciser la convexité de la fonctionlnet de la fonction inverse sur ]0,+∞[.
Exercice 5. Déterminer les intervalles de R où les fonctions suivantes sont convexes et préciser les points d'inexion.
1. f :x→ x2x+123 . 2. g:x→ |x|.
Exercice 6. Prouver que :
1. ∀n∈N∗,∀x∈R+,xn+1−(n+ 1)x+n>0. 2. Pour toutu∈
0,π2,2u6πsin(u). Exercice 7. Établir les inégalités suivantes :
1. ∀x∈R,ex>2ex2 −1. 2. ∀u∈
0,π2,sin(u)6u.
Exercice 8. Pour tous réelsaetbstrictement supérieurs à 1, comparer
ln a+b
2
etp
ln(a) ln(b).
Exercice 9 (Moyenne arithmétique et moyenne géométrique). Soitn>1et (a1, . . . , an)∈(R∗+)n.Comparer
1 n
n
X
k=1
ak et
n
Y
k=1
ak
!n1 .
