Extrema et convexité

Extrema et convexité

Cours de É. Bouchet ECS1 14 juin 2019

Table des matières

1 Recherche d'extremum 2

1.1 Quelques rappels . . . 2 1.2 Recherche d'extremum sur un segment . . . 2 1.3 Recherche d'extremum sur un ouvert . . . 3

2 Fonctions convexes 4

2.1 Convexité . . . 4 2.2 Convexité et dérivabilité . . . 6 2.3 Point d'inexion . . . 7

1 Recherche d'extremum

1.1 Quelques rappels

Soit f une fonction à valeurs réelles dénie sur un ensembleE etc∈E.

On dit que f admet un maximum local en c lorsqu'il existe un voisinage V_c de c inclus dans E tel que : pour toutx∈V_c,f(x)6f(c).

On dit quef admet un minimum local enc lorsqu'il existe un voisinage Vc de c,Vc inclus dans E, tel que : pour toutx∈V_c,f(x)>f(c).

Dénition (Extremum local, rappel).

Soit f une fonction à valeurs réelles dénie sur un ensembleE etc∈E.

On dit quef admet un maximum global en clorsque pour tout x∈E,f(x)6f(c). On dit quef admet un minimum global enc lorsque pour toutx∈E,f(x)>f(c). Dénition (Extremum global, rappel).

maximum global•

minimum global•

maximum local•

minimum local• maximum local•

1.2 Recherche d'extremum sur un segment

Soitaetbdeux réels tels quea < b. Toute fonction continue surI = [a, b]est bornée et atteint ses bornes.

Théorème (Théorème des bornes, rappel).

Remarque. Cela signie que toute fonction continue sur le segment I = [a, b] admet des extrema globaux sur ce segment.

Remarque. Ce théorème donne l'existence d'extrema, mais ne donne pas de méthode pour les déterminer.

1.3 Recherche d'extremum sur un ouvert

Soitaetbdeux réels tels quea < b et soitJ =]a, b[un intervalle ouvert deR. Soitf une fonction dérivable surJ. Sif admet un extremum local enc∈J alorsf⁰(c) = 0.

Théorème (Caractérisation d'un extremum, rappel).

Remarque. ATTENTION : ce résultat est faux si on ne suppose pas que l'intervalle est ouvert.

Exemple 1. On considère la fonctionf :x 7−→x² dénie sur[0,1]. Elle admet un maximum en 1, est dérivable sur [0,1]maisf⁰(1) = 26= 0.

Remarque. Il est possible d'avoirf⁰(c) = 0 sans que f n'admette d'extremum enc.

Exemple 2. On considère la fonctionf :x7−→x³ dénie sur[−1,1]. Elle est dérivable sur[−1,1], de plusf⁰(0) = 0, mais0n'est ni un maximum local, ni un minimum local.

Soit f une fonction de classeC¹ sur un intervalle ouvert J. On dit que c∈J est un point critique def lorsque f⁰(c) = 0.

Dénition (Point critique).

Remarque. On a donc montré que les extrema locaux d'une fonction de classe C¹ sur un intervalle ouvert sont à chercher parmi ses points critiques.

Remarque. Les extrema locaux d'une fonction de classe C¹ sauf en un nombre ni de points, sur un intervalle quelconque, sont donc à chercher parmi

ses points critiques,

les points où la fonction n'est pas dérivable, les bornes de l'intervalle.

Soit f une fonction de classeC² sur un intervalle ouvert I et soitc∈I un point critique de f. Alors, Sif⁽²⁾(c)>0, alorsf possède un minimum local enc.

Sif⁽²⁾(c)<0, alorsf possède un maximum local enc. Sif⁽²⁾(c) = 0, on ne peut rien conclure.

Théorème.

Démonstration. (démonstration à connaître) La fonctionf est de classeC², on peut donc eectuer un développement limité à l'ordre2en c : pourh au voisinage de0,

f(c+h) =f(c) +hf⁰(c) +h²

2 f⁰⁰(c) +o(h²).

Orcest un point critique de f, doncf⁰(c) = 0, et on a pour hau voisinage de0 : f(c+h)−f(c) = h²

2 f⁰⁰(c) +o(h²).

Sif⁽²⁾(c)<0, alors ^h₂²f⁰⁰(c) +o(h²)<0 pourh au voisinage de0 etf possède un maximum local enc. Sif⁽²⁾(c) = 0,f(c+h)−f(c) =o(h²) et on ne peut rien conclure.

Exemple 3. Trouver les extrema de la fonctionf :x7−→x³−x²−x+ 1 dénie sur[−2,³₂]. Déterminer leur nature, et s'ils sont locaux ou globaux.

Par le théorème des bornes, la fonction est continue sur un segment, donc admet au moins un minimum global et un maximum global (il va falloir les déterminer). La fonctionf est de classe C² sur son intervalle de dénition, donc les extrema sont soit des points critiques, soit des bornes de l'intervalle. On commence par chercher les points critiques :

∀x∈[−2,³₂],

f⁰(x) = 3x²−2x−1 etf⁰⁰(x) = 6x−2.

Doncf⁰(x) = 0⇐⇒3x²−2x−1 = 0. On cherche les racines de ce polynôme :∆ = 4 + 4×3 = 16 = 4², donc on a deux racines réelles, qui sont1 et−¹₃.

Il y a donc au total quatre points à étudier :1,−¹₃,−2 et ³₂. On commence par calculer leurs images : f(1) = 0, f

−1 3

= 32

27 '1,19, f(−2) =−9, f 3

2

= 5

8 '0,63.

Le minimum global est donc atteint en−2, et le maximum global en−¹₃. Il ne reste plus qu'à étudier les deux points restants :

f⁰⁰(1) = 4>0.

Donc1correspond à un minimum local. De plus, f

3 2 +h

−f 3

2

=hf⁰ 3

2

+o(h) = 11

4 h+o(h).

C'est négatif à gauche de ³₂, donc ³₂ correspond à un maximum local.

2 Fonctions convexes

2.1 Convexité

Soit f une fonction dénie sur un intervalleI non vide et non réduit à un point.

On dit que la fonction f est convexe sur I lorsque ∀(x₁, x₂) ∈ I², ∀(t₁, t₂) ∈ [0,1]² tels que t1+t2 = 1,

f(t1x1+t2x2)6t1f(x1) +t2f(x2).

On dit que la fonction f est concave sur I lorsque ∀(x₁, x2) ∈ I², ∀(t₁, t2) ∈ [0,1]² tels que t₁+t₂ = 1,

f(t1x1+t2x2)>t1f(x1) +t2f(x2).

Dénition (Fonction convexe, concave).

Remarque. On peut également écrire quef est convexe lorsque∀(x₁, x2)∈I²,∀t∈[0,1], f(tx₁+ (1−t)x₂)6tf(x₁) + (1−t)f(x₂).

Remarque. Interprétation géométrique : pour t∈[0,1],y=tf(x₁) + (1−t)f(x₂) parcourt le segment d'extrémités f(x₁) etf(x₂), tandis quey=f(tx₁+ (1−t)x₂)parcourt l'arc de courbe de f situé entre ces mêmes points. Donc la courbe représentative d'une fonction convexe (respectivement concave) est en dessous (respectivement au dessus) de ses cordes.

Convexe

Concave

Exemple 4. On admet que le le logarithme est concave surR^∗₊. Montrer que pour toutu∈[1, e],u−16(e−1) ln(u). On étudie la corde d'extrémités1 et e: ln(1) = 0 et ln(e) = 1, cette corde a donc une équation du type y =au+b avec 0 = a+b et 1 = ae+b. D'où y = ^u−1_e−1. La concavité donne alors : pour tout u ∈ [1, e], ^u−1_e−1 6 ln(u) et donc u−16(e−1) ln(u).

Une fonction f est concave sur un intervalle I si et seulement si−f est convexe surI. Proposition (Lien entre convexité et concavité).

Démonstration. (démonstration à connaître) On montre que f concave ⇒ −f convexe, la réciproque se montre par la même méthode. Soit f une fonction concave sur un intervalle I. Soit (x₁, x₂) ∈ I² et (t₁, t₂) ∈ [0,1]² tels que t1+t2 = 1, alors

f(t₁x₁+t₂x₂)>t₁f(x₁) +t₂f(x₂), d'où

(−f) (t₁x₁+t₂x₂)6t₁(−f)(x₁) +t₂(−f)(x₂).

Donc−f est convexe surI.

Soitn∈N^∗etf une fonction dénie sur un intervalleI non vide et non réduit à un point. Sif est convexe surI, alors ∀(x₁, x2, . . . , xn)∈Iⁿ,∀(t₁, t2, . . . , tn)∈[0,1]ⁿ tels quePn

k=1tk = 1,

f

n

X

k=1

t_kx_k

! 6

n

X

k=1

t_kf(x_k).

Théorème (Généralisation de l'inégalité de convexité).

Démonstration. Soit n∈N^∗, on pose P(n) =∀(x₁, x2, . . . , xn) ∈Iⁿ, ∀(t₁, t2, . . . , tn) ∈[0,1]ⁿ tels que Pn

k=1tk = 1, f(Pn

k=1t_kx_k)6Pn

k=1t_kf(x_k).

∀x₁∈I,f(x₁) =f(x₁), donc P(1)est vraie.

Soit n ∈N^∗, on suppose que P(n) est vraie. Soit (x₁, x₂, . . . , x_n+1) ∈Iⁿ⁺¹ et (t₁, t₂, . . . , t_n+1) ∈ [0,1]ⁿ⁺¹ tels que Pn+1

k=1t_k= 1. Sit_n+1 = 1, c'est le seul terme non nul et il n'y a rien à montrer. Sinon, f

n+1

X

k=1

t_kx_k

!

=f

(1−t_n+1) Pn

k=1t_kx_k 1−tn+1

+t_n+1x_n+1

_{f convexe}

6 (1−t_n+1)f Pn

k=1t_kx_k 1−tn+1

+t_n+1f(x_n+1).

Or, par P(n), commePn k=1

t_k 1−tn+1 =

Pn k=1tk

Pn

k=1tk = 1, f

Pn k=1t_kx_k 1−tn+1

6

Pn

k=1t_kf(x_k) 1−tn+1

. On obtient P(n+ 1)en insérant ce résultat dans l'inégalité précédente.

Exemple 5. Soitf une fonction convexe sur un intervalleI. Montrer que∀(x₁, x₂, . . . , x_n)∈Iⁿ,

f 1

n

n

X

i=1

x_i

! 6 1

n

n

X

i=1

f(x_i).

Il sut de choisir lesti tous égaux à 1

n, qui sont bien entre 0et1 et se somment à 1.

2.2 Convexité et dérivabilité

Soit f une fonction de classeC¹ sur un intervalleI. Les propriétés suivantes sont équivalentes : f est convexe surI,

En tout point deI,C_f est au dessus de ses tangentes, f⁰ est croissante sur I.

Théorème (Convexité d'une fonctionC¹).

Interprétation géométrique :

Convexe

Concave

Exemple 6. Montrer que pour toutx∈R,e^x>x+ 1.

La fonction exponentielle a une dérivée croissante surR, donc est convexe. Donc elle est au-dessus de sa tangente en 0, d'équationy=x+ 1.

Exemple 7. Montrer que pour toutx∈]−1,+∞[,x>ln(x+ 1).

La fonction x7−→ln(x+ 1) a une dérivéex 7−→ _x+1¹ décroissante sur ]−1,+∞[, donc est concave sur cet intervalle.

Donc elle est en dessous de sa tangente en0, d'équationy=x.

Soitf une fonction de classe C² sur un intervalle I. Alors f est convexe sur I si et seulement si pour tout x∈I,f⁰⁰(x)>0.

Corollaire (Convexité d'une fonction C²).

Remarque. De même,f est concave surI si et seulement si pour toutx∈I,f⁰⁰(x)60. 2.3 Point d'inexion

Soitf une fonction deux fois dérivable sur un intervalleI, etc∈I. On dit quecest un point d'inexion de f lorsque f⁰⁰ s'annule et change de signe en ce point.

Dénition (Point d'inexion).

Remarque. En un point d'inexion, il y a changement de concavité et la courbe traverse la tangente en ce point.

Exemple 8. Soitf :x7−→x³ dénie surR. Montrer que0 est un point d'inexion def. La fonctionf est de classe C² surR, donc les dérivées première et seconde existent, et ∀x∈R,

f⁰(x) = 3x², f⁰⁰(x) = 6x.

Doncf⁰⁰(0) = 0,f⁰⁰(x)>0 six >0 etf⁰⁰(x)<0 six <0. D'où le résultat.