Math2 – Chapitre 2 D´eriv´ees, Taylor, extrema locaux

Math2 – Chapitre 2

D´ eriv´ ees, Taylor, extrema locaux

Dans ce chapitre:

2.1 – Limites et continuit´ e 2.2 – D´ eriv´ ees partielles 2.3 – D´ eriv´ ee directionelle 2.4 – Gradient

2.5 – Diff´ erentielle 2.6 – Jacobienne

2.7 – Resum´ e sur les d´ eriv´ ees 2.8 – R` egle de la chaˆıne 2.9 – Hessienne

2.10 – Taylor

2.11 – Extrema locaux

2.1 – Limites et continuit´ e

Dans cette section:

‚ Rappels sur les fonctions d’une variable

‚ Limites de fonctions

‚ Fonctions continues

Rappels sur les fonctions d’une variable

Rappel – Si f : R ÝÑ R est une fonction d’une variable, avec domaine D

, on dit que:

‚ la limite de f en un point a P D

Y BD

est la valeur lim

xÑa

f pxq

` a laquelle tend f pxq quand x s’approche de a;

‚ f est continue en un point a P D

si lim

xÑa

f pxq “ f paq.

continue lim

gauche

‰ lim

droite

‚

˝

gauche

lim “ lim

droite

‰ f paq

Limites des fonctions

D´ efinition – Soit f : R

ÝÑ R

une fonction de plusieurs variables, de domaine D

.

‚ La limite de f en un point ~ a P D

Y BD

est la valeur ` a laquelle tend f p~ x q quand ~ x s’approche de ~ a par tous les chemins possibles dans D

.

On la note lim

~

xÑ~a

f p~ xq.

Γ

‚

‚

La limite peut ne pas exister, mais si elle existe elle est unique.

Fonctions continues

‚ La fonction f est continue en ~ a P D

si

~xÑ

lim

f p~ xq “ f p~ aq.

‚ La fonction f est continue sur le sous-ensemble D Ă D

si f est continue en tout point de D.

Le graphe d’une fonction continue n’a pas de “sauts”!

continue

non continue

˝

˝

non continue

Quelles fonctions sont-elles continues ?

Th´ eor` eme – Toutes les fonctions de plusieurs variables obtenues comme somme, produit ou compos´ ee de fonctions continues d’une variable sont continues.

Quelques fonctions continues –

‚ Les fonctions polynomiales de plusieurs variables sont continues sur R

.

‚ Les fractions rationnelles, les racines, les exponentielles et les logarithmes, les fonctions circulaires, les fonctions

hyperboliques et leurs r´ eciproques sont continues sur leur

domaine de d´ efinition.

2.2 – D´ eriv´ ees partielles

Dans cette section:

‚ Rappels sur les fonctions d’une variable

‚ d´ eriv´ ees partielles

‚ fonctions (continˆ ument) diff´ erentiables

Rappels sur les fonctions d’une variable

Rappel – Si f : R ÝÑ R est une fonction d’une variable, la d´ eriv´ ee de f en x P D

est la limite

f

pxq :“ lim

hÑ0

f px ` hq ´ f pxq h

si elle existe et est finie. Dans ce cas, f est d´ erivable en x.

La fonction f est d´ erivable sur D Ă D

si elle est d´ erivable en tout point x P D.

Propri´ et´ e – Une fonction d´ erivable est continue.

Le contraire est faux:

non continue continue, non d´ erivable d´ erivable

D´ eriv´ ees partielles

D´ efinition – Soit f : R

ÝÑ R

une fonction.

‚ Les d´ eriv´ ees partielles de f en ~ x P D

sont les limites Bf

Bx

px

, ..., x

q “ lim

hÑ0

f `

x

, ..., x

` h, ..., x

˘

´ f px

, ..., x

q h

pour i “ 1, ..., n (si ces limites existent).

‚ Les d´ eriv´ ees partielles de f sont les fonctions Bf

Bx

: R

ÝÑ R

: ~ x ÞÝÑ Bf

Bx

p~ xq pour i “ 1, ..., n d´ efinies sur l’ensemble de points ~ x o` u les d´ eriv´ ees

i

p~ xq existent.

Fonctions (continˆ ument) diff´ erentiables

‚ La fonction f est (continˆ ument) diff´ erentiable sur D Ă D

, ou de classe C

sur D, si toutes les d´ eriv´ ees partielles

Bf

Bx

: D Ă R

ÝÑ R

existent et sont des fonctions continues en tout point ~ x P D.

Propri´ et´ e – Une fonction diff´ erentiable est continue.

Le contraire est faux: le graphe d’une fonction diff´ erentiable n’a pas de “sauts” et en plus ne change pas son allure “brusquement”!

non continue continue

non diff´ erentiable diff´ erentiable

Exemples de fonctions diff´ erentiables

Exemples –

‚ Pour f px, yq “ xy

` 3x on a Bf

Bx px , y q “ y

` 3 et Bf

By px , y q “ 2xy qui sont continues sur R

, donc f est C

sur R

.

‚ Pour g px , y , z q “

ˆ xy

` 3x z

˙ on a Bg

Bx “

ˆ y

` 3 0

˙

, Bg

By “ ˆ 2xy

0

˙

et Bg

Bz “ ˆ 0

2z

˙

donc g est C

sur R

.

‚ Pour hpr , ϕ, θq “ ϕ

` r sin θ on a Bf

Br “ sin θ, Bf

Bϕ “ 2ϕ et Bf

Bθ “ r cos θ

donc h est C

sur r0, 8rˆr0, 2πrˆr0, πs.

2.3 – D´ eriv´ ees directionnelles

Dans cette section:

‚ D´ eriv´ ees directionnelles

‚ Croissance et d´ ecroissance des fonctions r´ eelles

D´ eriv´ ees directionnelles

Soit f : R

ÝÑ R

diff´ erentiable sur un ensemble D Ă R

. D´ efinition – Pour tout vecteur ~ v “ pv

, ..., v

q P R

, on appelle d´ eriv´ ee directionnelle de f dans la direction ~ v la fonction

B

f : D ÝÑ R

~ x ÞÝÑ B

f p ~ xq “ v

Bx1

p ~ xq ` ¨ ¨ ¨ ` v

p ~ xq Nota –

D´ eriv´ ees partielles = d´ eriv´ ees directionnelles dans la direction des vecteurs

~ e

“ p0, ..., 1, ..., 0q, o` u 1 est en i` eme position, c’est-` a-dire Bf

Bx

“ B

f .

Exemples de d´ eriv´ ees directionnelles

Exemples – Cherchons la d´ eriv´ ee directionnelle des fonctions suivantes, dans la direction d’un vecteur g´ en´ erique ~ v.

‚ f px, y q “ xy

` 3x

La fonction f : R

ÝÑ R a d´ eriv´ ees partielles Bf

Bx px, yq “ y

` 3 et Bf

By px, yq “ 2xy . Alors, pour tout vecteur de direction ~ v “ pu, vq P R

, la d´ eriv´ ee directionnelle de f est la fonction

B

f : R

ÝÑ R qui vaut, au point px, yq P R

,

B

f px, yq “ py

` 3q u ` 2xy v .

Exemples (suite)

‚ g px , y, z q “ pxy

` 3x, yz

q

La fonction g : R

ÝÑ R

a d´ eriv´ ees partielles Bg

Bx “

ˆ y

` 3 0

˙ , Bg

Bx “ ˆ 2xy

z

˙

et Bg Bz “

ˆ 0 2yz

˙ . Pour tout ~ v “ pu, v, w q P R

, la d´ eriv´ ee directionnelle

B

g : R

ÝÑ R

vaut donc B

g px, y, z q “

ˆ y

` 3 0

˙ u `

ˆ 2xy z

˙ v `

ˆ 0 2yz

˙ w

“

ˆ py

` 3q u ` 2xy v z

v ` 2yz w

˙ . A noter que si on ´ ` ecrit g “ pg

, g

q, on a

B

g “ pB

g

, B

g

q : R

ÝÑ R

.

Exemples (suite)

‚ hpr , ϕ, θq “ ϕ

` r sin θ

La fonction h : r0, 8rˆr0, 2πrˆr0, πs ÝÑ R a d´ eriv´ ees partielles Bh

Br “ sin θ, Bf

Bϕ “ 2ϕ et Bf

Bθ “ r cos θ,

donc pour tout ~ v “ pu, v, w q P R

, la d´ eriv´ ee directionnelle de h est la fonction

B

h : r0, 8rˆr0, 2πrˆr0, πs ÝÑ R qui vaut

B

hpr, ϕ, θq “ sin θ u ` 2ϕ v ` r cos θ w .

Croissance et d´ ecroissance des fonctions r´ eelles

Th´ eor` eme – Soit f : R

ÝÑ R une fonction r´ eelle de classe C

sur D Ă R

. Pour tout ~ x P D et tout ~ v P R

, on a:

‚ Si B

f p~ xq ą 0 alors f est croissante au point ~ x dans la direction de ~ v .

‚ Si B

f p~ xq ă 0 alors f est d´ ecroissante au point

~ x dans la direction de ~ v . De plus:

‚ forte croissance ðñ grande d´ eriv´ ee positive

‚ forte d´ ecroissance ðñ grande d´ eriv´ ee n´ egative

Nota – On ne peut rien dire sur la croissance de f si B

f p~ xq “ 0 !

Exercice

´ Enonc´ e – La fonction f px, y q “ xy

` 3x est-elle croissante ou d´ ecroissante au point p3, 1q, dans les directions p1, 1q, p1, 2q, p1, ´1q et p1, ´2q ?

R´ eponse – Pour tout vecteur ~ v “ pu, v q, on a B

f px, yq “ py

` 3q u ` 2xy v et donc

B

f p3, 1q “ 4 u ` 6 v d’o` u

‚ B

f p3, 1q “ 10 ñ f croissante en direction p1, 1q

‚ B

f p3, 1q “ 16 ñ f croissante en direction p1, 2q

‚ B

f p3, 1q “ ´2 ñ f d´ ecroissante en dir. p1, ´1q

‚ B

f p3, 1q “ ´8 ñ f d´ ecroissante en dir. p1, ´2q

Exercice

´ Enonc´ e (suite) – Parmi ces quatre directions, quelle est celle de plus forte croissance et celle de plus forte d´ ecroissance ?

R´ eponse – Pour comparer la croissance d’une fonction en diff´ erentes directions, il faut calculer les diff´ erentes d´ eriv´ ees directionnelles avec des vecteurs ayant tous la mˆ eme longueur, par exemple 1.

Directions croissantes –

‚ }p1, 1q} “ ?

2 ñ B

2p1,1q

f p3, 1q “ 10

? 2

‚ }p1, 2q} “ ?

5 ñ B

5p1,2q

f p3, 1q “ 16

? 5 Or

ă

car p10 ?

5q

“ 500 ă p16 ?

2q

“ 512.

Ainsi, au point p3, 1q, le fonction f croit plus rapidement dans la

direction p1, 2q.

Exercice

Directions d´ ecroissantes –

‚ }p1, ´1q} “ ?

2 ñ B

2p1,´1q

f p3, 1q “ ´ 2

? 2

‚ }p1, ´2q} “ ?

5 ñ B

5p1,´2q

f p3, 1q “ ´ 8

? 5 On a ´

ą ´

car ceci se v´ erifie ssi

2

ă

, ce qui est vrai car p2 ?

5q

“ 20 ă p8 ?

2q

“ 128.

Ainsi, au point p3, 1q, le fonction f d´ ecroit plus rapidement dans la

direction p1, ´2q.

2.4 – Gradient

Dans cette section:

‚ Gradient des fonctions r´ eelles

‚ Interpretation g´ eom´ etrique du gradient

Gradient d’une fonction r´ eelle

D´ efinition – Soit f : R

ÝÑ R une fonction r´ eelle diff´ erentiable sur D Ă D

.

‚ Le gradient de f en un point ~ x P D est le vecteur de R

ÝÝÑ grad f p~ xq ” Ý Ñ ∇ f p~ xq “ Bf

Bx

p~ xq ~ e

` ¨ ¨ ¨ ` Bf Bx

p~ xq ~ e

“

¨

˚

˝

Bf Bx1

p~ xq

.. .

Bf Bxn

p~ xq

˛

‹

‚

o` u le symbole Ý Ñ ∇ se lit nabla.

‚ Le gradient de f est la fonction vectorielle ÝÝÑ grad f ” Ý Ñ ∇ f “

¨

˚

˝

Bf Bx1

.. .

Bf Bxn

˛

‹

‚ : D Ă R

ÝÑ R

Pour tout ~ v P R

on a alors B

f “ x Ý Ñ ∇ f , ~ vy “ Ý Ñ ∇f ¨ ~ v .

Exemples de gradient

Exemples –

‚ f px, y q “ xy

` 3x ñ Ý Ñ ∇ f px, y q “

ˆ y

` 3 2xy

˙

Par exemple: Ý Ñ ∇ f p0, 0q “ ˆ 3

0

˙

et Ý Ñ ∇f p3, 2q “ ˆ 7

12

˙ .

‚ f px, y , z q “ sinpxy q ` lnpx

` z

q ñ Ý

Ñ ∇ f px, y, z q “

¨

˝

y cospxy q `

x cospxy q

2z x²`z²

˛

‚ .

Par exemple: Ý Ñ ∇f p0, π, 1q “

¨

˝

´π 0 2

˛

‚ .

Interpr´ etation g´ eom´ etrique du gradient

Th´ eor` eme – Soit f : R

Ñ R une fonction de deux variables, diff´ erentiable sur D Ă R

. Pour tout ~ x P D on a alors:

‚ Le gradient Ý Ñ ∇ f p~ xq est orthogonal ` a la ligne de niveau L

pf q avec a “ f p ~ xq.

‚ Le gradient Ý Ñ ∇ f p~ xq indique la direction de la pente de plus forte

croissante du graphe Γ

en ~ x .

Exemple: interpretation g´ eom´ etrique du gradient

Exemple – f px, yq “ a

1 ´ x

´ y

ùñ domaine D

“ D

p1q = disque unitaire ferm´ e ligne de niveau L

pf q = cercle de rayon ?

1´a

, o` u a P r0, 1s f est diff´ erentiable sur D “ D

p1q = disque unitaire ouvert, et

Ý

Ñ ∇ f px, y q “

¨

˝

?

?

˛

‚ “ ´ 1 a px, yq.

Pour tout a Ps0, 1r, ce vecteur est orthogonal au cercle L

pf q au point px, y q et est dirig´ e vers le centre du cercle.

direction croissante Γ

gradient Ý Ñ

∇f

2.5 – Diff´ erentielle

Dans cette section:

‚ Diff´ erentielle des fonctions

‚ Diff´ erentielle des fonctions r´ eelles: dx, dy et dz

‚ Diff´ erentielle des coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques: d ρ,

d ϕ, dr et d θ

Diff´ erentielle d’une fonction en un point

Soit f : R

ÝÑ R

une fonction diff´ erentiable sur l’ensemble D Ă R

. Par d´ efinition, pour tout ~ x P D, l’application

B

f pxq : R

ÝÑ R

~ v ÞÝÑ B

f p~ xq “

1

p~ xq v

` ¨ ¨ ¨ `

n

p~ xq v

est lin´ eaire dans la variable ~ v .

D´ efinition – Cette application lin´ eaire de R

vers R

s’appelle diff´ erentielle de f au point ~ x.

Il est d’usage de la noter df

: R

ÝÑ R

.

En somme, pour tout ~ v “ pv

, ..., v

q P R

, on a donc df

p~ vq “ Bf

Bx

p~ xq v

` ¨ ¨ ¨ ` Bf

Bx

p~ xq v

“ B

f p~ xq.

Diff´ erentielle en un point: cas particuliers

Cas particuliers –

‚ Si f : R

ÝÑ R est une fonction r´ eelle, la diff´ erentielle df

: R

ÝÑ R s’´ ecrit au moyen du gradient de f :

@~ v P R

, df

p~ vq “ x Ý Ñ ∇f pxq, ~ v y

‚ Si f “ pf

, ..., f

q : R ÝÑ R

est une fonction

d’une seule variable x, la diff´ erentielle df

: R ÝÑ R

vaut:

@v P R , df

pv q “

´

f

pxq v , . . . , f

pxq v

¯

Exemples de diff´ erentielles

Exemples –

‚ f pxq “ x

´ x

ñ f : R Ñ R

ñ df

: R ÝÑ R est donn´ ee par df

pv q “ p2x ´ 5x

q v.

‚ f px, y q “ x

y

´ 7y ñ f : R

Ñ R ñ df

: R

ÝÑ R est donn´ ee par

df

pu, v q “ 2xy

u ` p3x

y

´ 7q v . Par exemple:

df

p2, 1q “ 4xy

` 3x

y

´ 7 df

pu , vq “ 2u ´ 4v

df

p2, 1q “ 0 (quelle coincidence !)

Exemples de diff´ erentielles (suite)

‚ f px, y q “

¨

˝ xy

y x

´ y

˛

‚ ñ f : R

Ñ R

df

: R

Ñ R

df

pu, vq “ u

¨

˝ y

0 2x

˛

‚ ` v

¨

˝ 2xy

1

´2y

˛

‚ “

¨

˝

y

u ` 2xy v v 2x u ´ 2y v

˛

‚

‚ f px, y , z q “ ˆ xy

yz

˙

ñ f : R

Ñ R

df

: R

Ñ R

df

pu , v, w q “ u

ˆ y

0

˙

` v ˆ 2xy

z

˙

` w ˆ 0

3yz

˙

“

ˆ y

u ` 2xy v z

v ` 3yz

w

˙

Applications lin´ eaires ´ elementaires

Remarque –

‚ Les n applications lin´ eaires (pour i “ 1, ..., n)

dx

: R

ÝÑ R, ~ v “ pv

, ..., v

q ÞÝÑ dx

p~ v q “ v

formant une base de l’espace vectoriel L pR

, Rq.

‚ Par cons´ equent, toute application lin´ eaire L : R

ÝÑ R s’´ ecrit comme combinaison lin´ eaire des dx

:

L “ a

dx

` ¨ ¨ ¨ ` a

dx

avec a

P R .

‚ Il n’y a pas n applications lin´ eaires

2

dx

: R

ÝÑ R

(pour i “ 1, ..., n)

qui forment une base de l’espace vectoriel L pR

, R

q, parce que

cet espace a dimension n ˆ m !

Diff´ erentielle

D´ efinition – Soit f : R

ÝÑ R

une fonction diff´ erentiable sur D Ă R

. L’application

D Ă R

! ÝÑ L pR

, R

q

~ x ÞÝÑ df

s’appelle diff´ erentielle de f et est not´ ee df .

Corollaire – Si f : R

ÝÑ R est une fonction r´ eelle, alors:

‚ La diff´ erentielle df

: R

ÝÑ R en ~ x P D s’´ ecrit df

“ Bf

Bx

p~ xq dx

` ¨ ¨ ¨ ` Bf Bx

p~ xq dx

.

‚ La diff´ erentielle df : D ÝÑ LpR

, Rq s’´ ecrit df “ Bf

Bx

dx

` ¨ ¨ ¨ ` Bf Bx

dx

.

Exemples: ´ ecriture usuelle des diff´ erentielles

Exemples –

‚ f pxq “ x

´ x

ñ df

“ p2x ´ 5x

q dx . Par exemple: df

“ ´3 dx.

‚ f px, y q “ x

y

´7y ñ df

“ 2xy

dx ` p3x

y

´7q dy . Par exemple: df

“ 2 dx ´ 4 dy .

‚ f px, y , z q “ x

y

z ´ 7yz

ñ

df

“ 2xy

z dx ` p3x

y

z ´ 7z

q dy ` px

y

´ 14yz q dz

Par exemple: df

“ 2 dx ´ 4 dy ´ 13 dz

Exercice

´ Enonc´ e – Pour la fonction f px, yq “ lnp1 ´ x

` 5yq:

1) D´ eterminer l’ensemble D o` u f est diff´ erentiable.

2) D´ eterminer la diff´ erentielle en tout point px, yq P D.

3) Calculer df

en les vecteurs ~ ı “ p1, 0q, ~  “ p0, 1q,

~

v “ p1, 1q et ~ u “ p3, ´3q.

R´ eponse – 1) D “

!

px, yq P R

| y ą 1 5 x

´ 1

5 )

portion du plan au-dessus de la parabole d’´ eq.

y “ 1 5 x

´ 1

5

Exercice (suite)

2) Pour tout px , yq P D, on a

df

“

px, yq dx `

px, y q dy

“ ´2x

1 ´ x

` 5y dx ` 5

1 ´ x

` 5y dy 3) Ainsi

df

“ ´4

1 ´ 4 dx ` 5

1 ´ 4 dy “ 4

3 dx ´ 5 3 dy et

df

p ~ ı q “

p2, 0q “

df

p ~  q “

p2, 0q “ ´

df

p~ vq “ df

p1, 1q “

´

“ ´

df

p~ uq “ df

p3, ´3q “

3 ´

p´3q “ 4 ` 5 “ 9

Exercice : dx , dy , dz , d ρ, d ϕ, dr et d θ

´ Enonc´ e – On note px, y, zq, pρ, ϕ, zq et pr, ϕ, θq les coordonn´ ees cartesiennes, cylindriques et sph´ eriques des points de R

. On rappelle que

$

&

%

x “ ρ cos ϕ y “ ρ sin ϕ z “ z

ρ Ps0, 8r ϕ P r0, 2πr

et $

&

%

x “ r cos ϕ sin θ y “ r sin ϕ sin θ z “ r cos θ

r Ps0, 8r

ϕ P r0, 2πr

θ Ps0, πr

Exercice (suite)

Montrer que

i q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

dx “ cos ϕ d ρ ´ ρ sin ϕ d ϕ dy “ sin ϕ d ρ ` ρ cos ϕ d ϕ dz “ dz

i

q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

d ρ “ cos ϕ dx ` sin ϕ dy ρd ϕ “ ´ sin ϕ dx ` cos ϕ dy dz “ dz

Formules de passage cart´ esiennes ÐÑ cylindriques

Exercice (suite)

ii q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

dx “ cos ϕ sin θ dr ´ r sin ϕ sin θ d ϕ ` r cos ϕ cos θ d θ dy “ sin ϕ sin θ dr ` r cos ϕ sin θ d ϕ ` r sin ϕ cos θ d θ dz “ cos θ dr ´ r sin θ d θ

ii

q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

dr “ cos ϕ sin θ dx ` sin ϕ sin θ dy ` cos θ dz r sin θ d ϕ “ ´ sin ϕ dx ` cos ϕ dy

rdθ “ cos ϕ cos θ dx ` sin ϕ cos θ dy ` sin θ dz

Formules de passage cart´ esiennes ÐÑ sph´ eriques

Exercice (suite)

piii q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

dr “ sin θ d ρ ` cos θ dz d ϕ “ d ϕ

rdθ “ cos θ d ρ ´ sin θ dz

piii

q

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

%

d ρ “ sin θ dr ` cos θ d θ d ϕ “ d ϕ

dz “ r cos θ dr ´ r sin θ d θ

Formules de passage cylindriques ÐÑ sph´ eriques

Exercice (suite et fin)

R´ eponse – Il suffit d’´ ecrire les diff´ erentielles des applications de changement de variables. Par exemple la diff´ erentielle du

changement de variables cylindriques Ñ cart´ esiennes donne les formules i q:

dx “

d ρ `

d ϕ `

dz

“ cos ϕ d ρ ´ ρ sin ϕ d ϕ dy “

d ρ `

d ϕ `

dz

“ sin ϕ d ρ ` cos ϕ d ϕ dz “

d ρ `

d ϕ `

dz

“ dz

Les formules i

q s’obtiennent en inversant le syst` eme iq. On

proc` ede dela mˆ eme fa¸con our les autres formules.

2.6 – Jacobienne

Dans cette section:

‚ Rappel sur les applications lin´ eaires et les matrices

‚ Matrice Jacobienne et d´ eterminant Jacobien

‚ Jacobien des changements de variables

Rappels sur les applications lin´ eaires et les matrices

Rappel – Toute application lin´ eaire L : R

ÝÑ R

se repr´ esente come une matrice A “ `

a

˘

P M

pRq (avec m lignes et n colonnes) telle que, pour tout ~ v “ pv

, ..., v

q P R

, on a

Lp~ vq “ A ~ v (produit matrice par vecteur)

“

¨

˚

˝

a

a

¨ ¨ ¨ a

.. . .. . ¨ ¨ ¨ .. . a

a

¨ ¨ ¨ a

˛

‹

‚

¨

˚

˝ v

.. . v

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝

a

v

` ¨ ¨ ¨ ` a

v

.. .

a

v

` ¨ ¨ ¨ ` a

v

˛

‹

‚ P R

Matrice jacobienne

D´ efinition – Soit f : R

ÝÑ R

une fonction diff. sur D.

‚ La matrice Jacobienne de f est la matrice J

P M

associ´ ee

` a df , c’est ` a dire telle que

df

p~ vq “ J

p~ xq ~ v pour tout ~ x P D et tout ~ v P R

. Si pf

, ..., f

q sont les composantes de f , on a alors

J

p~ xq “

¨

˚

˚

˚

˚

˝

Bf

p~ xq

Bx

¨ ¨ ¨ Bf

p~ xq Bx

.. . ¨ ¨ ¨ .. . Bf

p~ xq

Bx

¨ ¨ ¨ Bf

p~ xq Bx

˛

‹

‹

‹

‹

‚

P M

pRq.

‚ Si la matrice Jacobienne est carr´ ee (n “ m), son d´ et´ erminant

Jac f “ det J

s’appelle Jacobien de f .

Exemples de matrices jacobiennes

Exemples –

‚ Si f : R

ÝÑ R , px, yq ÞÑ f px, yq “ x

y, on a

J

px, y q “

ˆ Bf px, y q Bx

Bf px, yq By

˙

“

´

2xy x

¯

P M

pRq

une matrice ligne.

‚ Si γ : R ÝÑ R

: t ÞÑ γptq “ pγ

pt q, γ

pt qq “ p2t, t

` 1q, on a

J

ptq “ ˆ γ

pt q

γ

pt q

˙

“ ˆ 2

3t

˙

P M

p R q

une matrice colonne, c’est-` a-dire un vecteur.

Exemples de matrices jacobiennes

‚ Si h : R

ÝÑ R

pu, vq ÞÑ hpu, vq “ `

h

pu, vq, h

pu, vq ˘

“ pu

v , 3uq, on a

J

pu, v q “

¨

˚

˚

˝ Bh

Bu Bh

Bv Bh

Bu Bh

Bv

˛

‹

‹

‚

“

ˆ 2uv u

3 0

˙

P M

p R q

et

Jac hpu, vq “ Bh

Bu

Bh

Bv ´ Bh

Bu Bh

Bv “ ´3u

‚ Si g : R ÝÑ R , z ÞÑ g pz q “ sin z , on a

J

pz q “

´ g

pz q

¯

“

´ cos z

¯

P M

p R q et

Jac g pz q “ g

pzq “ cos z P R

Exemples: Jacobien des changements de variables

‚ Polaires : hpρ, ϕq “ pρ cos ϕ, ρ sin ϕq J

pρ, ϕq “

ˆ cos ϕ ´ ρ sin ϕ sin ϕ ρ cos ϕ

˙

Jac hpρ, ϕq “ ρ cos

ϕ ` ρ sin

ϕ “ ρ

‚ Cylindriques : hpρ, ϕ, zq “ pρ cos ϕ, ρ sin ϕ, zq J

pρ, ϕ, zq “

¨

˝

cos ϕ ´ρ sin ϕ 0 sin ϕ ρ cos ϕ 0

0 0 1

˛

‚

Jac hpρ, ϕ, zq “ ρ cos

ϕ ` ρ sin

ϕ “ ρ

Exemples: Jacobien des changements de variables

‚ Sph´ eriques : hpr , ϕ, θq “ pr cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θq

J

pr, ϕ, θq “

¨

˝

cos ϕ sin θ ´r sin ϕ sin θ r cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ r sin ϕ cos θ

cos θ 0 ´r sin θ

˛

‚

Jac h “ cos θ

´

´ r

sin

ϕ sin θ cos θ ´ r

cos

ϕ sin θ cos θ

¯

´ r sin θ

´

r cos

ϕ sin

θ ` r sin

ϕ sin

θ

¯

“ ´r

sin θ cos

θ ´ r

sin

θ

“ ´r

sin θ

Exercice

´ Enonc´ e – Calculer le gradient, la diff´ erentielle et la matrice jacobienne de la fonction f : R

ÝÑ R donn´ ee par

f px, y, z q “ z sinpxy q.

R´ eponse – On a Ý

Ñ ∇ f px, y, z q “

¨

˝

yz cospxy q xz cospxy q

sinpxyq

˛

‚

df

“ yz cospxyq dx ` xz cospxy q dy ` sinpxy q dz

J

px, y, z q “

´

yz cospxy q xz cospxy q sinpxy q

¯

Exercice

´ Enonc´ e – Calculer la diff´ erentielle et la matrice Jacobienne de la fonction f : R

ÝÑ R

donn´ ee par

f px, y, zq “

ˆ z sin x z sin y

˙ .

R´ eponse – Pour tout ~ v “ pu, v , w q P R

, on a df

pu, v, w q “

ˆ z cos x 0

˙ u `

ˆ 0 z cos y

˙ v `

ˆ sin x sin y

˙ w

J

px, y, zq “

ˆ z cos x 0 sin x 0 z cos y sin y

˙

2.7 – Resum´ e sur les d´ eriv´ ees

Dans cette section:

‚ Resum´ e sur les d´ eriv´ ees des fonctions r´ eelles

‚ Resum´ e sur les d´ eriv´ ees des fonctions vectorielles

Resum´ e: d´ eriv´ ees des fonctions r´ eelles

Si f : R

ÝÑ R est une fonction r´ eelle diff. sur D Ă R

:

‚ d´ eriv´ ees partielles

= fonctions r´ eelles

Bf Bx1

, ...,

n

: D ÝÑ R

‚ d´ eriv´ ees directionelles

= fonctions r´ eelles

B

f : D ÝÑ R B

f “ v

Bx1

` ¨ ¨ ¨ ` v

‚ gradient

= fonction vectorielle

Ý

Ñ ∇ f : D ÝÑ R

Ý Ñ ∇ f “

¨

˚

˝

Bf Bx1

.. .

Bf Bxn

˛

‹

‚

‚ diff´ erentielle

= fonction ` a valeur applications lin´ eaires

df : D ÝÑ LpR

, Rq df “

1

dx

` ¨ ¨ ¨ `

dx

‚ Jacobienne

= fonction ` a valeur matrices ligne

J

: D ÝÑ M

pRq J

“

´

Bx1

¨ ¨ ¨

¯

Resum´ e: d´ eriv´ ees des fonctions vectorielles

Si f “ pf

, ..., f

q : R

ÝÑ R

est fonction vectorielle diff. sur D:

‚ d´ eriv´ ees partielles

= fonctions vectorielles

Bf Bx1

, ...,

n

: D ÝÑ R

Bf Bx_i

“

´

Bx_i

, ...,

i

¯

‚ d´ eriv´ ees directionelles

= fonctions vectorielles

B

f : D ÝÑ R

B

f “ v

1

` ¨ ¨ ¨ ` v

n

‚ gradient “ Ý Ñ ∇f ” n’est pas d´ efini

‚ diff´ erentielle

= fonction ` a valeur applications lin´ eaires

df : D ÝÑ L pR

, R

q mais les ”dx

” n’existent pas

‚ Jacobienne

= fonction ` a valeur dans les matrices

J

: D Ă R

ÝÑ M

pRq J

“

¨

˚

˝

Bf1

Bx1

¨ ¨ ¨

.. . .. . .. .

Bfm

Bx1

¨ ¨ ¨

˛

‹

‚

2.8 – R` egle de la chaˆıne

Dans cette section:

‚ D´ eriv´ ees de la somme et du produit de fonctions

‚ D´ eriv´ ees de la compos´ ee de fonctions

‚ Transformation des d´ eriv´ ees partielles:

,

,

,

,

,

et

D´ eriv´ ees de la somme de fonctions et du produit par scalaire

Proposition – Si f , g : R

Ñ R

sont diff´ erentiables, on a :

‚ Bpf ` g q Bx

“ Bf

Bx

` Bg

Bx

pour tout i “ 1, ..., n Par cons´ equent Ý Ñ ∇ pf `g q “ Ý Ñ ∇ f ` Ý Ñ ∇ g (si m “1) ,

d pf `g q “ df ` dg , J

“ J

` J

‚ Bpλ f q

Bx

“ λ Bf

Bx

pour tout i “ 1, ..., n o` u λ P R Par cons´ equent Ý Ñ ∇ pλ f q “ λ Ý Ñ ∇ f (si m “1) ,

d pλ f q “ λ df , J

“ λ J

D´ eriv´ ees du produit de fonctions

Proposition – Si f , g : R

ÝÑ R sont des fonctions r´ eelles diff´ erentiables, on a la r` egle de Leibniz:

‚ Bpfg q Bx

“ Bf

Bx

g ` f Bg

Bx

pour tout i “ 1, ..., n Par cons´ equent Ý Ñ ∇ pfg q “ ` Ý Ñ ∇f ˘

g `f ` Ý Ñ ∇ g ˘ , d pfg q “ `

df ˘ g `f `

dg ˘ , J

“ `

J

˘ g `f ` J

˘

Exemple : r` egle de Leibniz

Exemple – Soit f : R

ÝÑ R d´ efinie par f px, yq “ xy

e

. Le calcul de la diff´ erentielle de f peut se faire directement au moyen de la formule

d

´ xy

e

¯

“ B `

xy

e

˘

Bx dx ` B `

xy

e

˘

By dy

ou en passant par la r` egle de Leibniz d

´ xy

e

¯

“ d ` xy

˘

e

` xy

d ` e

˘

“ `

y

dx ` 2xy dy ˘ e

`xy

`

y e

dx ` x e

dy ˘

“ `

y

` xy

˘

e

dx ` `

2xy ` x

y

˘

e

dy

D´ eriv´ ees des fonctions compos´ ees

Proposition – Pour deux fonctions

f “ pf

, ..., f

q : R

Ñ R

diff´ erentiable en ~ x P R

g “ pg

, ..., g

q : R

Ñ R

diff´ erentiable en ~ y “ f p~ xq P R

la compos´ ee g ˝ f : R

Ñ R

est diff´ erentiable en ~ x et on a la r` egle de la chaˆıne :

‚ B `

g ˝ f ˘

j

Bx

p ~ xq “ Bg

By

` f p ~ xq ˘ Bf

Bx

p ~ xq ` ¨ ¨ ¨ ` Bg

By

` f p ~ xq ˘ Bf

Bx

p ~ xq pour tout i “ 1, ..., n et tout j “ 1, ..., p ,.

Par cons´ equent, on a aussi : d `

g ˝ f ˘

~

x

“ dg

˝ df

(composition d’applications lin´ eaires)

J

p~ xq “ J

pf p~ xqq ¨ J

p~ x q (produit de matrices)

Cas usuels de fonctions compos´ ees

‚ Cas usuel 1 –

Si f : R

ÝÑ R, px, yq ÞÑ f px, y q “ z g : R ÝÑ R, z ÞÑ g pz q

g ˝ f : R

ÝÑ R , px, yq ÞÑ g `

f px, y q ˘ on a

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

Bpg ˝ f q

Bx p ^x,y q “ d g d z

` f p ^{x ,y} q ˘ Bf Bx p ^x,y q Bpg ˝ f q

By p x,y q “ d g d z

` f p x ,y q ˘ Bf By p x ,y q d `

g ˝ f ˘

p

x,y

“

` f p ^{x ,y} q ˘

df

_x,y

J

p ^x,y q “

`

f p ^x,y q ˘

J

p ^x,y q

Exercice: cas usuel 1

´ Enonc´ e – Soit f : R

ÝÑ R une fonction dont on connait Bf px, y q

Bx “ 2xy et Bf px, yq

By “ x

´ 2y.

Pour F px, y q “ ln f px, yq, calculer BF Bx et BF

By .

R´ eponse – Si on pose gpzq “ ln z, on a F “ g ˝ f et donc BF p ^x,y q

Bx “

pf p ^x,y qq Bf

Bx p ^x,y q “ 2xy f p ^{x ,y} q BF p ^x,y q

By “

pf p ^x,y qq Bf

By p ^x,y q “ x

´ 2y

f p ^x,y q

Cas usuels de fonctions compos´ ees

‚ Cas usuel 2 –

Si f : R

ÝÑ R , px, yq ÞÑ f px, y q h : R

ÝÑ R

, pu, v q ÞÑ hpu, vq “ `

xpu, vq, ypu, vq ˘ f ˝ h : R

ÝÑ R, pu, v q ÞÑ f `

xpu, v q, y pu, v q ˘ on a

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

Bpf ˝ hq

Bu p ^u,v q “ Bf Bx

` hp u,v q ˘ Bx

Bu p ^u,v q ` Bf By

` hp u,v q ˘ By Bu p ^u,v q Bpf ˝ hq

Bv p ^u,v q “ Bf Bx

` hp u,v q ˘ Bx

Bv p ^u,v q ` Bf By

` hp u,v q ˘ By Bv p <sup>u,v</sup> q d `

f ˝ h ˘

p

u,v

“ df

_u,v

˝ dh

_u,v

J

p u,v q “ J

` hp u,v q ˘

J

p u,v q

Exercice: cas usuel 2

´ Enonc´ e – Soit f : R

ÝÑ R une fonction dont on connait

Bfpx,yq

Bx

“ 2xy et

“ x

´ 2y . Pour G pu, vq “ f pv, uv

q, calculer

et

.

R´ eponse – Si on pose hpu, vq “ pv, uv

q “ px, y q, c. ` a d. x “ v et y “ uv

, on a G “ f ˝ h et donc

BG p ^u,v q Bu “ Bf

Bx pv, uv

q Bx

Bu p ^u,v q ` Bf

By pv, uv

q By Bu p ^u,v q

“ 2v uv

¨ 0 ` pv

´ 2uv

q ¨ v

“ p1 ´ 2uqv

BG p ^u,v q

Bv “ Bf

Bx pv, uv

q Bx

Bv p ^u,v q ` Bf

By pv , uv

q By Bv p ^u,v q

“ 2v uv

¨ 1 ` pv

´ 2uv

q ¨ 2uv

“ 4uv

pv ´ uq

Cas usuels de fonctions compos´ ees

‚ Cas usuel 3 –

Si f : R

ÝÑ R , px, yq ÞÑ f px, y q γ : R ÝÑ R

, t ÞÑ γptq “ `

xptq, y ptq ˘ f ˝ γ : R ÝÑ R , t ÞÑ f `

xptq, yptq ˘ on a

d ` f ˝ γ ˘

ptq d t “ Bf

Bx

` γptq ˘

xptq ` 9 Bf By

` γptq ˘ yptq 9

d ` f ˝ γ ˘

t

“ df

˝ d γ

J

ptq “ J

`

γptq ˘

J

ptq

Exercice: cas usuel 3

´ Enonc´ e – Soit f : R

ÝÑ R une fonction dont on connait

Bfpx,yq

Bx

“ 2xy et

“ x

´ 2y . Pour Hptq “ f pt

, 3tq, calculer

.

R´ eponse – Si on pose γptq “ pt

, 3tq “ px, y q, c. ` a d.

"

x “ t

y “ 3t , on a H “ f ˝ γ et donc

d Hptq

d t

“

“ Bf

Bx pt

, 3tq xptq ` 9 Bf

By pt

, 3tq yptq 9

“ 2t

3t ¨ 2t ` pt

´ 6t q ¨ 3

“ 24t

´ 18t

Exercice

´ Enonc´ e – Soit f : R

ÝÑ R la fonction f px, yq “ xy

. 1) Soit g : R ÝÑ R une fonction telle que g

pzq “ ?

z.

Calculer Bg pxy

q

Bx et Bg pxy

q By .

R´ eponse – On veut calculer les d´ eriv´ ees de g ˝ f , donc on applique la r` egle de la chaˆıne:

Bg pxy

q

Bx “ g

pxy

q Bpxy

q Bx

“ a xy

y

Bg pxy

q

By “ g

pxy

q Bpxy

q By

“ a

xy

px

´ 2xy q

Exercice (suite)

2) Soit px, yq “ hpu, vq “ `

xp u,v q, yp u,v q ˘

un changement de variables dont on connait la matrice Jacobienne

J

p ^u,v q “

˜

Bx Bv By Bu

By Bv

¸

“

ˆ 0 1 v

2uv

˙ ,

et soit ˜ f “ f ˝ h. Calculer B ˜ f

Bu p ^u,v q et B f ˜ Bv p ^u,v q.

R´ eponse – On applique la r` egle de la chaˆıne:

B ˜ f

Bu p ^u,v q “ Bf

Bx php ^u,v qq Bx

Bu p ^u,v q ` Bf

By php ^u,v qq By Bu p ^u,v q

“ yp u,v q

¨ 0 ` 2xp u,v qyp u,v q v

B ˜ f

Bv p ^u,v q “ Bf

Bx php u,v qq Bx

Bv p ^u,v q ` Bf

By php u,v qq By Bv p ^u,v q

“ yp u,v q

¨ 1 ` 2xp u,v qyp u,v q 2uv

Exercice (suite)

R´ eponse (suite)–

En alternative, on peut passer par les matrices Jacobiennes.

Puisque

J

p ^{x ,y} q “

´

x,y

Bfp

x,y

¯

“ `

y

2xy ˘ , on a

J

p ^u,v q “ J

php u,v qq ¨ J

p ^u,v q

“ `

yp u,v q

2xp u,v qyp u,v q ˘

¨

ˆ 0 1 v

2uv

˙

“ `

y

¨ 0 ` 2xy ¨ v

y

¨ 1 ` 2xy ¨ 2uv ˘

“ `

2v

xp u,v qyp u,v q yp u,v q

` 4uv xp u,v qyp u,v q ˘

Exercice (suite)

3) Soit γptq “ pxptq, y ptqq une trajectoire dans R

d´ ependante du param` etre t. Calculer la d´ eriv´ ee en t de la fonction t ÞÑ f pxptq, yptqq.

R´ eponse – On veut calculer la d´ eriv´ ee de la fonction f ˝ γ, donc on applique la r` egle de la chaˆıne:

d f pxptq, yptqq

dt “ Bf

Bx

` xpt q, yptq ˘

xptq ` 9 Bf By

` xptq, yptq ˘ yptq 9

“ y ptq

x 9 ptq ` 2 xptqyptqq yptq 9

Exercice : transformation des d´ eriv´ ees partielles

´ Enonc´ e – Soient px, y, zq les coordonn´ ees cartesiennes des points de R

, pρ, ϕ, zq les coordonn´ ees cylindriques et pr, ϕ, θq les

coordonn´ ees sph´ eriques. On rappelle que

$

&

%

x “ ρ cos ϕ y “ ρ sin ϕ z “ z

et

$

&

%

x “ r cos ϕ sin θ y “ r sin ϕ sin θ z “ r cos θ avec

"

ρ Ps0, 8r

ϕ P r0, 2πr et

$

&

%

r Ps0, 8r ϕ P r0, 2πr θ Ps0, πr Montrer que les deriv´ ees partielles

!

B

Bx

,

,

)

,

!

B

Bρ

,

,

)

et

!

B

Br

,

,

)

satisfont aux formules suivantes :

Exercice (suite)

pi q

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Bρ

“ cos ϕ

` sin ϕ

1 ρ B

Bϕ

“ ´ sin ϕ

` cos ϕ

B

Bz

“

pi

q

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Bx

“ cos ϕ

´ sin ϕ

B

By

“ sin ϕ

` cos ϕ

B

Bz

“

Exercice (suite)

piiq

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Br

“ cos ϕ sin θ

` sin ϕ sin θ

` cos θ

1 rsinθ

B

Bϕ

“ ´ sin ϕ

` cos ϕ

1 r B

Bθ

“ cos ϕ cos θ

` sin ϕ cos θ

´ sin θ

pii

q

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Bx

“ cos ϕ sin θ

´ sin ϕ

` cos ϕ cos θ

B

By

“ sin ϕ sin θ

` cos ϕ

` sin ϕ cos θ

B

Bz

“ cos θ

´ sin θ

Exercice (suite)

piiiq

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Br

“ sin θ

` cos θ

1 rsinθ

B

Bϕ

“

1 r

B

Bθ

“ cos θ

´ sin θ

piii

q

$

’ ’

’ &

’ ’

’ %

B

Bρ

“ sin θ

` cos θ

1 ρ B

Bϕ

“

B

Bz

“ cos θ

´ sin θ

Exercice (suite)

R´ eponse – Montrons pi q. Pour cela on applique la r` egle de la chaˆıne ` a la compos´ ee ˜ f “ f ˝ h o` u px, y, z q “ hpρ, ϕ, z q est le changement de variables des coordonn´ ees cylindriques en coordonn´ ees cart´ esiennes. On a alors:

B˜f

Bρ

“

`

`

“ cos ϕ

` sin ϕ

B˜f

Bϕ

“

`

`

“ ´r sin ϕ

` r cos ϕ

B˜f

Bz

“

`

`

“

d’o` u suivent les formules piq. Les formules pi

q en d´ ecoulent par

inversion du syst` eme.

Exercice (suite)

‚ Pour montrer les formules pii q, on applique cette m´ ethode ` a la compos´ ee ˜ f “ f ˝ h o` u px, y, z q “ hpr, ϕ, θq est le changement de variables des coordonn´ ees sph´ eriques en coordonn´ ees cart´ esiennes.

On a alors:

B˜f

Br

“

`

`

“ cos ϕ sin θ

` sin ϕ sin θ

` cos θ

B˜f

Bϕ

“

`

`

“ ´ρ sin ϕ sin θ

` ρ cos ϕ sin θ

B˜f

Bθ

“

`

`

“ r cos ϕ cos θ

` r sin ϕ cos θ

´ r sin θ

‚ On inverse le syst` eme piiq pour obtenir pii

q.

‚ On combine les pi q ` a pii

q pour obtenir piiiq et piii

q.

2.9 – Hessienne

Dans cette section:

‚ D´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur

‚ Th´ eor` eme de Schwarz

‚ Matrice Hessienne

‚ Laplacien, fonctions harmoniques

D´ eriv´ ees partielles d’ordre sup´ erieur

D´ efinition – Soit f : D Ă R

ÝÑ R diff´ erentiable. Si les d´ eriv´ ees partielles

i

: D Ă R

ÝÑ R sont ` a leur tour diff´ erentiables, on peut calculer leurs d´ eriv´ ees partielles.

‚ Pour tout k P N , les d´ eriv´ ees partielles d’ordre k de f sont les fonctions qu’on obtient en d´ erivant f succ´ essivement k fois:

B

f Bx

¨ ¨ ¨ Bx

“ B Bx

¨ ¨ ¨ Bf Bx

.

Par exemple, si f : R

ÝÑ R est fonction de px, yq, on a:

B²f

Bx²

“

,

“

,

“

,

“

.

‚ La fonction f est de classe C

si ses d´ eriv´ ees d’ordre k existent

et sont des fonctions continues. La fonction f est lisse ou de

classe C

si elle est C

pour tout k P N .

Th´ eor` eme de Schwarz

Th´ eor` eme – Si les d´ eriv´ ees secondes

iBxj

existent et sont continue en un point ~ x , pour tout i , j “ 1, ..., n, alors

B

f Bx

Bx

p~ xq “ B

f Bx

Bx

p~ xq pour tout i ‰ j .

Corollaire – Si f est une fonction de classe C

(ou lisse), alors toutes ses d´ eriv´ ees mixtes jusqu’` a l’ordre k (ou 8)

ayant le mˆ eme nombre de d´ eriv´ ees en chaque x

,

coincident ind´ ependement de l’ordre dans lequel elles sont

calcul´ ees.

Exemple : d´ eriv´ ees secondes

Exemple – f px, yq “ x

y

$

’ ’

’ &

’ ’

’ % Bf

Bx px, y q “ 3x

y

Bf

By px, yq “ 2x

y

$

’ ’

’ ’

&

’ ’

’ ’

% B

f

Bx

px, yq “ 6xy

B

f

BxBy px, yq “ 6x

y B

f

By Bx px, yq “ 6x

y B

f

By

px, y q “ 2x

L’on constate que les d´ eriv´ ees partielles sont continues (donc f est

de classe C

) et que les d´ eriv´ ees mixtes sont identiques.

Exercice

´ Enonc´ e – Soient F , G : R ÝÑ R de classe C

et soit c P R

. Montrer que le fonction upx, tq “ F px ´ ct q ` G px ` ct q est solution de l’´ equation des ondes

1 c

B

u

Bt

px, tq ´ B

u

Bx

px, tq “ 0 pour tout px, tq P R

. R´ eponse – La fonction u est de classe C

car compos´ ee de fonctions C

. On a

Bu

Bx

px, tq “ F

px ´ ct q

` G

px ` ctq

“ F

px ´ ct q ` G

px ` ctq

Bu

Bt

px, tq “ F

px ´ ct q

` G

px ` ctq

“ ´c F

px ´ ctq ` c G

px ` ctq