En déduire les extrema globaux deg|M

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Université Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

11 - DIFFERENTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, déterminer les points critiques de f puis les points critiques de f_|M oùM= h⁻¹({0}) :

1. f(x,y,z)=x²+y²−z²eth(x,y,z)=x+y+z−1 ;

2. f(x,y)=e^x+e^yeth(x,y,z)=x³+3x²+3x−y³+3y²−3y+5 ; 3. f(x,y,z)=x+2zeth(x,y,z)=(x²+y²−z,x+y+z−₁₆¹) ; 4. f(x,y,z)=cos(x y z) eth(x,y,z)=(x y−1,y³−z²).

Exercice 2

Soitf(x,y,z)=(x+y+z,x²+y²+z²−1) etg(x,y,z)=5x+y−3z. On noteM=f⁻¹({0}). Montrer par un argument topologique queg_|Madmet un maximum global et un minimum global. En déduire les extrema globaux deg_|M.

Exercice 3

Déterminer les extrema de la fonction f(x,y,z)=2x+3y+2z sur l’intersection du plan d’équationx+z=1 avec le cylindre d’équationx²+y²=2 dansR³.

Exercice 4

SoitS:={(x,y., )∈R³|x y z=1}.

1. Montrer queSest une sous-variété de dimension 2 deR³.

2. Montrer queSpossède 4 composantes connexes homéomorphes àR².

On considère la fonction f(x,y,z)=x y+y z+zx. On noteS₊la composante connexe deSà laquelle le point (1, 1, 1) appartient.

1. Montrer que la fonctionf restreinte àS₊est propre.

2. Montrer quef possède un seul point critique sur la surfaceS₊. En déduire quef restreinte àS₊atteint sa plus petite valeur et déterminer cette valeur.

3. SoitS^′une composante connexe deSdistincte deS₊. Montrer que sup{f(x,y,z)|(x,y,z)∈S^′}= +∞et inf{f(x,y,z)|(x,y,z)∈S^′}= −∞. En déduire que l’ensembleΓ=f⁻¹(0)∩S^′est non vide, fermé et non compact.

4. Montrer queΓest une sous-variété de dimension 1 deR³.

5. Vérifier qu’il existe un seul point surΓqui minimise la distance de l’origine (0, 0, 0). En déduire queΓest connexe, homéomorphe àR.

Note : On pourra, pour la dernière affirmation, utiliser le théorème suivant : Une sous-variété connexe de dimension 1 deRⁿ est homéomorphe àRou au cercleS¹. La preuve est un exercice basé sur les deux obser- vations suivantes. SoitMune sous-variété connexe de dimension 1 deRⁿ; siJ1etJ2sont deux ouverts deM homéomorphes à deux intervallesI1etI2deRalors

— J1∩J2possède au plus deux composantes connexes ;

— siJ1∩J2est connexeJ1∪J2est homéomorphe à un intervalle deR;

— siJ1∩J2possède deux composantes connexes alorsJ1∪J2=MetMest homéomorphe au cercleS¹. (cf. J. Milnor :Topology from a differentiable view point.)

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