Montrer que poura= (0,0),f admet une dérivée partielle enadans toute directionv∈R2\ {a}, mais quef n’est pas différentiable ena

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Universit´e Lille 1 L3 Maths

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7 - APPLICATIONS DIFFERENTIABLES

Exercice 1

a) Montrer que la différentiabilité en un point d’une application entre deux espaces vectoriels normésE et F et la valeur de la différentielle sont inchangées si l’on remplace les normes sur E et F par des normes équivalentes.

b) On considère f :R² →R définie parf(0,0) = 0 et, si (x, y) 6= (0,0), f(x, y) = _x2^x+y³ ². Montrer que poura= (0,0),f admet une dérivée partielle enadans toute directionv∈R²\ {a}, mais quef n’est pas différentiable ena.

c) Soient p, q ∈ N et f : R² → R l’application d´efinie par f(0,0) = 0 et, si (x, y) 6= (0,0), f(x, y) =

x^py^q

x²−xy+y². Montrer quef est diff´erentiable si et seulement sip+q >3.

Exercice 2

Dans un espace vectoriel E 6= {0} muni d’une norme N, on considère l’application x 7→ N(x). En raisonnant par l’absurde, montrer que N n’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées directionnelles).

Exercice 3

Soit (E,h·|·i) un espace pr´ehilbertien surR; on notek · kla norme associ´ee au produit scalaire.

a) Montrer queg:x7→ kxk² est diff´erentiable surE et calculer sa diff´erentielle.

b) En déduire que f :x7→ kxk est différentiable en tout point de E\ {0}, et calculer sa différentielle.

D´ecrire Ker (Df(x)) pour toutx6= 0.

Exercice 4

Soita∈Rⁿ etf :Rⁿ\{a} →Rⁿ définie parf(x) = _||_xâ₋⁻_a^x_||2, oùk · kest la norme euclidienne.

a) D´eterminerDf(x) pour toutx∈Rⁿ\{a}.

b) Soit S : h7→ kx−ak²Df(x)·h. CalculerS(x−a), puis S(v) pour v orthogonal `a x−a. Comment appelle-t-onS?

Exercice 5

L’espaceMⁿ(R) des matricesn×nréelles est muni de la norme d’opérateurs. On écritIpour la matrice identité.

a) Montrer que, sikHk<1, la matriceI−H est inversible, et que l’on a l’expression suivante (s´erie de Neumann) :

(I−H)⁻¹= X∞ k=0

H^k o`u l’on poseH⁰=I.

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b) Montrer que le groupeGLn(R) des matrices inversibles est un ouvert deMⁿ(R).

c) Montrer que l’application f : GLn(R)→ GLn(R) d´efinie par f(A) =A⁻¹ est diff´erentiable en tout A∈GLn(R) et queDf(A)·H =−A⁻¹HA⁻¹ pour toutH ∈ Mⁿ(R).

Exercice 6

a) Pourk∈N, on considère l’application A7→A^k définie surMⁿ(R). Montrer qu’elle est différentiable, et calculer sa différentielle.

b) Soit f : A 7→ detA l’application qui associe à une matrice A son déterminant. Montrer qu’elle est différentiable et en déduire que pour toutA∈ Mⁿ(R),

∀H∈ Mⁿ(R), Df(A)·H = lim

t→0

det(A+tH)−det(A)

t .

CalculerDf(I), puisDf(A) pourA∈GLn(R). En d´eduire, en utilisant un argument de densit´e, une expression deDf(A) pour toutA∈ Mⁿ(R).

Exercice 7

Soitf une application diff´erentiable deR² dans lui-mˆeme, propre (i.e. ||f(x)|| −−−−−−→

kxk→+∞ +∞), telle que pour toutx∈R²,Df(x) soit injective. On montrera quef est surjective.

Soienta∈R² etg(x) =||f(x)−a||², o`u k · kest la norme euclidienne.

a) Montrer queg(x)−−−−−−→

kxk→+∞ +∞.

b) En d´eduire qu’il existeM >0 tel que inf{g(x)|x∈R²}= inf{g(x)|x∈R², kxk ≤M}. Montrer que gatteint sa borne inf´erieure en un pointx0 deR².

c) Montrer queg est différentiable et en déduire queDg(x0) = 0. Calculer explicitement la différentielle Dget conclure.

Exercice 8

Soit (E,h·|·i) un espace préhilbertien réel. Soit u∈ L^c(E) un endomorphisme continu que l’on suppose symétrique :∀x, y∈E, hu(x)|yi=hx|u(y)i.

a) Montrer que l’application x∈E 7→ hu(x)|xi est différentiable surE et calculer sa différentielle. En déduire que l’applicationx7→ kxk²est différentiable.

b) Considérons φ: E\ {0} →Rdéfinie par φ(x) = ^hû(x)_h_x_|_x^|_i^xⁱ. Montrer que φ est différentiable. Calculer ensuiteDφ.

c) Soita∈E\ {0}. Montrer queDφ(a) = 0 si et seulement siaest vecteur propre deu.

Exercice 9

SoitF un ferm´e de Rⁿ muni de la norme euclidienne, et f :Rⁿ →Rd´efinie par f(x) = dist(x, F). On rappelle quef est 1-lipschitzienne, et que pour chaquexil existey∈F tel que f(x) =kx−yk.

a) On suppose quef est diff´erentiable enx /∈F. Montrer que||Df(x)|| ≤1.

b) On consid`ere la fonctionϕ:t7→f((1−t)x+ty) d´efinie sur [0,1]. En calculantϕ⁰(0) de deux fa¸cons, montrer queDf(x)·_||x−y||^x⁻^y = 1 et que||Df(x)|| ≤1.

c) En d´eduire quey est unique.

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Exercice 10

Soitg:R→Rune application de classeC² et F:R²→Rd´efinie par

F(x, y) = g(y)−g(x)

y−x six6=y, F(x, x) =g⁰(x).

Montrer que pour tout (x, y)∈R², F(x, y) =R1

0 g⁰((1−t)x+ty)dt. En d´eduire que F est de classeC¹ en tout point deR², et calculer sa diff´erentielle.

Exercice 11

Soit X = C([0,1]) muni de la norme uniforme, et soit ϕ une application de C¹(R,R). On consid`ere l’applicationF:X→X donn´ee parf 7→ϕ◦f.

a) Montrer queϕ(x+t) =ϕ(x) +tϕ⁰(x) +tΨ(x, t) avec une fonction continue Ψ :R²→R.

b) En déduire queF est différentiable et que pour chaquef ∈X,DF(f) est l’opérateur linéaire continu de multiplication parϕ⁰◦f dansX :DF(f)·h=h(ϕ⁰◦f).

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8 - ACCROISSEMENTS FINIS

Exercice 1

a) Soit f :]a;b[→Rⁿ une fonction d´erivable. Montrer quef⁰ est born´ee sur ]a;b[ si et seulement sif est lipschitzienne.

b) Montrer que l’égalité des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions à valeurs vectorielles (considérerf(x) =eîx).

Exercice 2

Soitf :R²→R²d´efinie parf(x, y) = (x²−y, x²+y²), etg=f◦f. a) Montrer quef etg sont de classeC¹.

b) Calculer en tout point (x, y)∈R² la matrice jacobienne def, not´eeJac(x,y)f. ExprimerJac(x,y)gen fonction de la matrice jacobienne def.

c) CalculerDg(0,0). Montrer qu’il existeδ >0 tel que pour tout (x, y)∈BF((0,0), δ),||Dg(x, y)|| ≤ ¹2. d) Montrer que la fonctiong admet un unique point fixe dansBF((0,0), δ) et le d´eterminer.

Exercice 3

On consid`ere l’applicationF :R²→R² d´efinie par

F(x, y) = (x²+y², y²).

Soit Ω ={p∈R²|F^k(p)−−−−−→_p_→₊_∞ 0} où F^k est l’applicationF composéek-fois avec elle-même.

a) V´erifier quep∈Ω si et seulement siF(p)∈Ω.

b) Montrer qu’il existe δ >0 tel quekDF(p)k< ₂¹ sikpk< δ. En d´eduire queB(0, δ)⊂Ω.

c) Soitp∈Ω : montrer qu’il existekp∈Ntel quep∈ F^k^p−1

(B(0, δ))⊂Ω. Montrer que Ω est ouvert.

d) CalculerF(tx, ty) pourt∈R. En d´eduire que Ω est connexe.

Exercice 4

Soitf une application diff´erentiable de ]a, b[⊂RdansRⁿ; on suppose qu’il existek >0 tel que

∀x∈]a, b[, ||Df(x)|| ≤k||f(x)||

Montrer que sif s’annule en un point x0 ∈]a, b[, alorsf est identiquement nulle sur ]a, b[ (commencer par montrer queE={x∈]a, b[|f(x) = 0} est ouvert).

Exercice 5

SoientE un espace normé de dimension (finie ou infinie) au moins égale à 2,F un espace normé,a∈E, ret k des réels strictement positifs,B(a, r) la boule ouverte deE de centreaet de rayonr. Soitf une application différentiable définie surU =B(a, r)\ {a}, à valeurs dansF, vérifiantkf⁰(x)k ≤kpour tout x∈U. Montrer que pourx, y∈U l’on akf(x)−f(y)k ≤kkx−yk.

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9 - INVERSION LOCALE

Exercice 1

a) Soit U le plan privé de l’origine, etf(x, y) = (x²−y²,2xy). Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point deU mais n’est pas un difféomorphisme global.

b) Soitg l’application deR² dansR²d´efinie parg(x, y) = (e^xcosy, e^xsiny). Montrer quegest de classe C¹surR²; queDg(x, y) est inversible pour tout (x, y) deR²; mais quegn’est pas un hom´eomorphisme deR² surg(R²).

Exercice 2

Soitf d´efinie parf(x) =x+x²sin^π_x six6= 0 etf(0) = 0.

a) Montrer quef est d´erivable surR, et que f⁰(0)6= 0.

b) Montrer que pour toutn∈N^∗,f

1 2n+1

< f _2n¹

< f

1 2n+1/2

.

c) En d´eduire quef n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.

Exercice 3

Montrer que sia, bsont voisins de 1, on peut trouverx, y∈Rtels que y+e^xy =a

x+e⁻^xy =b .

Exercice 4

SoitE=Mⁿ(R) etIla matrice unité dansE. En considérantϕ:E→E telle queϕ(M) =M², montrer qu’il existeα >0 tel que toute matriceAvérifiant||A−I||< α admette une racine carrée.

Exercice 5

Démontrer le résultat suivant (théorème d’inversion globale) :

SoitE,F deux espaces de Banach,U un ouvert deE et f :U →F une application de classeC¹ surU. Alorsf est unC¹-diff´eomorphisme deU surf(U) si et seulement si :

(i)f est injective ;

(ii)Df(x)∈est inversible pour toutx∈U.

Attention : cela ne montrepasquef :U →F est surjective.

Exercice 6

On considère l’application ϕ de R³ dans lui-même définie par (x, y, z) → (e^2y+e^2z, e^2x−e^2z, x−y).

Montrer queϕest unC¹-diff´eomorphisme deR³sur son image que l’on pr´ecisera.

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Exercice 7

a) Soitf l’application deR²dansR²d´efinie parf(x, y) = (x+y, xy). Trouver un ouvert connexe maximal U ⊂R² tel quef soit un diff´eomorphisme deU surf(U).

b) Montrer que l’applicationϕ: (r, θ)→(x, y) = (rcosθ, rsinθ) est un C¹-difféomorphisme de l’ouvert ]0,∞[×]−π, π[ sur le plan privé de la demi-droite R⁻. Si f(x, y) = g(r, θ) donner les formules de passage entre les dérivées partielles def et celles de g.

Exercice 8

SoientGun ouvert born´e deRⁿ, etf :G→Rⁿune application continue dansGetC¹dansG. Pour tout x∈G, on supposeDf(x) inversible. Montrer que l’applicationx7→ kf(x)k atteint son maximum en un point du bord∂G=G\G.

Exercice 9

Soitg:R→Rune application de classeC¹, telle que|g⁰(x)| ≤kpour toutxr´eel, o`uk∈]0,1[. On pose F(x, y) = (x+g(y), y+g(x))

a) Montrer queF est unC¹-diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deR².

b) En appliquant le théorème du point fixe àφ(x, y) = (a−f(y), b−f(x)) pour (a, b)∈R², montrer que F :R²→R² est bijective. Conclure.

Exercice 10

Soitf :Rⁿ→Rⁿ une application de classeC¹ telle que

∀x, y∈Rⁿ, ||f(x)−f(y)|| ≥k||x−y||

o`u k >0 est une constante.

a) Montrer quef est de classeC¹et queDf(x) est inversible pour toutx∈Rⁿ. En d´eduire quef est un C¹-diff´eomorphisme deRⁿ sur son image, et quef(Rⁿ) est un ouvert deRⁿ.

b) Montrer quef(Rⁿ) est un ferm´e deRⁿ.

c) En déduire quef est unC¹-difféomorphisme deRⁿ sur lui-même.

Exercice 11

Soient E un espace de Banach et φ l’application définie sur L^c(E) par L^c(E) 3 u 7→ u◦u. Soit I l’application identité surE. Montrer queφest unC¹-difféomorphisme local au voisinage deI.

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10 - FONCTIONS IMPLICITES ET SOUS-VARIETES

Exercice 1

1. Soitf la fonction deR²dansRdéfinie parf(x, y) =x³+y³−3xyetC={(x, y)∈R²|f(x, y) = 0}. En quels points peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites ? Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu’elle existe et écrire l’équation de la tangente àC.

2. Montrer que l’équatione^x+e^y+x+y−2 = 0 définit au voisinage de 0 une fonction impliciteϕde xdont on calculera le développement limité à l’ordre 3 en 0.

3. Montrer que les équationsx+y−zt=xy−z+t= 0 définissent au voisinage dez= 0, t= 1 deux fonctions implicitesx=ϕ1(z, t), y=ϕ2(z, t) avecϕ1(0,1) = 1, dont on calculera les différentielles en ce point.

Exercice 2

SoientMⁿ(R) l’espace des matricesn×nréelles,Ila matrice unité. Le polynôme caractéristiqueF(λ, A) = det(λI−A) définit une applicationF deR× Mⁿ(R) dansR.

a) Montrer queF est de classeC¹ (voireC^∞).

b) On rappelle que les valeurs propres réelles deAsont les réelsλtels queF(λ, A) = 0 ; une valeur propre réelleλ0 de Aest simple si et seulement si ^∂F_∂λ(λ0, A)6= 0. Soit λune valeur propre réelle simple de A. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert V de A et une application φ:V → Rde classe C¹ telle queφ(A) =λ, et que pour toute matriceB∈V,φ(B) soit une valeur propre réelle deB.

c) SoitU le sous-ensemble de Mⁿ(R) formé des matrices ayant n valeurs propres réelles deux à deux distinctes. Montrer queU est un ouvert de Mⁿ(R).

d) Soient A ∈ U et λ1(A), . . . , λn(A) les n valeurs propres de A rang´ees dans un ordre croissant. On d´efinit ainsinapplicationsλ1, . . . , λndeU dansR. Montrer que ces applications sont de classeC¹sur U.

Exercice 3

Soit f : R³ → R² d´efinie par f(x, y, z) = (x²−y²+z²−1, xyz−1). Soit (x0, y0, z0) ∈ R³ tel que f(x0, y0, z0) = (0,0). Montrer qu’il existe un intervalleIcontenantx0et une applicationφ:I→R² tels queφ(x0) = (y0, z0) etf(x, φ(x)) = 0 pour toutx∈I.

Exercice 4

On considère le système d’équations :

x²+y²−2z² = 0 x²+ 2y²+z² = 4 .

Montrer que, pourxproche de l’origine, il existe des fonctions positivesy(x) etz(x) telles que (x, y(x), z(x)) soit solution du syst`eme. On d´etermineray⁰ en fonction dex, yet z⁰ en fonction dex, z.

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Exercice 5

Donner l’allure deC={(x, y)∈R²|x⁴+y³−x²−y²+x−y= 0}au voisinage des points (0,0) et (1,1).

Exercice 6

Déterminer, parmi les sous-ensembles définis ci-dessous, ceux qui sont des sous-variétés : 1. {(x, y, z)∈R³| x²+y²+z²= 1 etx²+y²−x= 0}(fenêtre de Viviani) ;

2. {(x, y)∈R²|xy= 0};

3. {(x, y, z)∈R³| x³+y³+z³−3xyz= 1}; 4. {(x, y)∈R²|y²=x³};

5. {(x, y, z)∈R³| x²+y²=λz²}o`uλ∈R; 6. {(x, y)∈R²|y³=x³}.

Exercice 7

1. Montrer que l’´equationxy+xz+yz+ 2x+ 2y−z= 0 d´efinit au voisinage de (0,0,0) une surface.

Donner l’´equation du plan tangent affine de cette surface `a l’origine.

2. Montrer que les équations 4xy+ 2xz+ 4y−z= 0 etxy+xz+yz+ 2x+ 2y−z= 0 définissent au voisinage de l’origine une courbe. Déterminer l’espace tangent de cette courbe à l’origine.

Exercice 8

Montrer que Sln(R) ={A∈ Mⁿ(R)| det(A) = 1} est une sous-vari´et´e deMⁿ(R) de dimensionn²−1 dont l’espace tangent enIest

TISln(R) ={X∈ Mⁿ(R)|tr(X) = 0}.

Montrer queOn(R) ={A∈ Mⁿ(R)|^tAA=In}est aussi une sous-vari´et´e de Mⁿ(R).

Exercice 9

SoitE un espace vectoriel de dimension finie,a∈E etf :E→E un diff´eomorphisme de classeC¹ ayant un point fixea. On suppose qu’il existen∈N^∗ tel quefⁿ =id.

1. Pour p∈N, calculer D(f^p)(a). En d´eduire queu:=Df(a) est une application lin´eaire inversible.

Que vaut Du? 2. On poseϕ(x) =Pn

p=1u⁻^p(f^p(x)) pourx∈E. V´erifier queϕ◦f =u◦ϕ.

3. Montrer que ϕest un C¹-diff´eomorphisme au voisinage dea. En d´eduire qu’il existe un voisinage ouvertU deasur lequelf =ϕ⁻¹◦u◦ϕ.

4. SoitF l’ensemble des points fixes def : on a donca∈F∩U. Montrer que six∈U, alors x∈F ⇐⇒ϕ(x) est vecteur propre deupour la valeur propre 1.

En déduire que ϕ(F∩U) est un sous-espace vectoriel deE, puis que chaque composante connexe deF est une sous-variété deE.

5. Soit g : R² → R², g(x, y) = (x, y+y³−x²). Montrer que g est un difféomorphisme de R². En déduire que 4) n’est plus nécessairement vrai si l’on supprime l’hypothèse fⁿ=id.

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11 - DIFFERENTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR

Exercice 1

SoientE1, E2et F des espaces normés etB:E1×E2→F une application bilinéaire continue. Montrer queB est de classeC^∞et déterminer les différentielles D^kB.

Exercice 2

SoientE et F des espaces de Banach etf :E→F une application de classeC². 1. Soith∈E etφh:E→F l’application d´efinie par φh(x) =Df(x)(h). Justifier que

D²f(a)(k, h) =Dφh(a)(k) pour tout k∈E .

2. Supposons que, pour tous t∈Retx∈E,f(tx) =t²f(x). Montrer queD²f(0)(x, x) = 2f(x) pour tout x∈E.

Exercice 3

1. D´eterminer les extrema (locaux et/ou globaux) de : a) f(x, y) =x²−y², (x, y)∈R²;

b) f(x, y) =x³−y³, (x, y)∈R²; c) f(x, y) =x³+y³−3xy, (x, y)∈R²; d) f(x, y) =x²+y²−2xy+ 1, (x, y)∈R².

2. Discuter, suivant les valeurs du param`etre r´eelλ, la nature des extrema de la fonction f(x, y) =y(x²+y²−2λy).

3. Soit r, s, tdes r´eels et qla forme quadratique sur R² d´efinie par q(v) =rv₁²+ 2sv1v2+tv₂² pour v= (v1, v2). Montrer que

a) qest définie positive si et seulement sirt−s²>0 etr >0 ; b) qest définie négative si et seulement sirt−s²>0 etr <0.

Exercice 4

Etudier les extrema (globaux) des fonctions suivantes surR³:

f(x, y, z) = 1

2x²+xyz−z+y etg(x, y, z) =x³+ 3xy²+ 3z²+ 3xy.

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Exercice 5

Soitf : (R⁺)³→Rd´efinie parf(x, y, z) = _(x+y+z)^xyz 2 si (x, y, z)6= (0,0,0), etf(0,0,0) = 0.

a) Montrer quef est continue, et quef est de classeC^∞(voire C^∞) sur (]0,∞[)³. b) Soita >0. Montrer quef atteint son maximum sur

K:={(x, y, z)∈R³|x≥0, y≥0, z≥0, x²+y²+z²=a²}, et d´eterminer ce maximum.

c) Déduire de ce qui précède que, pour tousx, y, z∈Ron a

|xyz| ≤ 1 9√

3(|x|+|y|+|z|)²p

x²+y²+z².

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer les points critiques de f puis les points critiques de f_|M o`u M =h⁻¹({0}) :

1. f(x, y, z) =x²+y²−z² eth(x, y, z) =x+y+z−1 ;

2. f(x, y) =e^x+e^y eth(x, y, z) =x³+ 3x²+ 3x−y³+ 3y²−3y+ 5 ; 3. f(x, y, z) =x+ 2z eth(x, y, z) = (x²+y²−z, x+y+z−16¹) ; 4. f(x, y, z) = cos(xyz) eth(x, y, z) = (xy−1, y³−z²).

Exercice 7

Soitf(x, y, z) = (x+y+z, x²+y²+z²−1) etg(x, y, z) = 5x+y−3z. On noteM =f⁻¹({0}). Montrer par un argument topologique queg_|M admet un maximum global et un minimum global. En d´eduire les extrema globaux deg_|M.

Exercice 8

Déterminer les extrema de la fonction f(x, y, z) = 2x+ 3y+ 2z sur l’intersection du plan d’équation x+z= 1 avec le cylindre d’équationx²+y²= 2 dansR³.

Exercice 9

SoitS:={(x, y.,)∈R³|xyz= 1}.

1. Montrer queS est une sous-vari´et´e de dimension 2 deR³.

2. Montrer queS possède 4 composantes connexes homéomorphes àR².

On consid`ere la fonctionf(x, y, z) =xy+yz+zx. On noteS+la composante connexe deS `a laquelle le point (1,1,1) appartient.

1. Montrer que la fonction f restreinte `aS+ est propre.

2. Montrer quef possède un seul point critique sur la surface S+. En déduire que f restreinte à S+

atteint sa plus petite valeur et d´eterminer cette valeur.

3. SoitS⁰ une composante connexe deSdistincte deS+. Montrer que sup{f(x, y, z)|(x, y, z)∈S⁰}= +∞ et inf{f(x, y, z)| (x, y, z)∈ S⁰} = −∞. En d´eduire que l’ensemble Γ = f⁻¹(0)∩S⁰ est non vide, ferm´e et non compact.

4. Montrer que Γ est une sous-vari´et´e de dimension 1 deR³.

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5. Vérifier qu’il existe un seul point sur Γ qui minimise la distance de l’origine (0,0,0). En déduire que Γ est connexe, homéomorphe à R.

Note : On pourra, pour la dernière affirmation, utiliser le théorème suivant : Une sous-variété connexe de dimension 1 deRⁿ est homéomorphe à Rou au cercleS¹. La preuve est un exercice basé sur les deux observations suivantes. Soit M une sous-variété connexe de dimension 1 de Rⁿ; si J1 et J2 sont deux ouverts deM homéomorphes à deux intervallesI1et I2 deRalors

– J1∩J2 poss`ede au plus deux composantes connexes ;

– siJ1∩J2 est connexeJ1∪J2 est hom´eomorphe `a un intervalle deR;

– siJ1∩J2poss`ede deux composantes connexes alorsJ1∪J2=M etM est hom´eomorphe au cercleS¹. (Cf. Appendix : Classifying 1-manifolds dans : J.W. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, Princeton University Press, 1997.)