Dans toute l’´ epreuve, on d´ esigne par C le cube unit´ e (plein) port´ e par la base affine canonique (A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), D = (0, 1, 0), E = (0, 0, 1)) de R

(1)

L3 - Math´ ematiques pour l’Enseignement - G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire. 2013-2014 Contrˆ ole continu du 18 mars 2014

Dur´ ee: 1 heure 45

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Dans toute l’´ epreuve, on d´ esigne par C le cube unit´ e (plein) port´ e par la base affine canonique (A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), D = (0, 1, 0), E = (0, 0, 1)) de R

³

:

Exercice 1 (Sym´ etries du cube)

1. Tracer, sur une figure de C, les plans affines P

i

, 1 ≤ i ≤ 3, d’´ equation P

1

: y = 1

2 , P

2

: y + z = 1, P

3

: x + y = 1, dans le rep` ere R = (A; − − →

AB, − − → AD, −→

AE).

2. On d´ esigne par s

i

, 1 ≤ i ≤ 3, la sym´ etrie affine de plan P

i

parall` element ` a la droite − → D

i

orthogonale ` a − → P

i

.

(i) Expliciter s

2

(x, y, z) et s

3

(x, y, z), (x, y, z) ∈ R

³

. [On pourra, par exemple, s’aider d’ une figure en commen¸ cant par d´ eterminer l’image des points A,B,D,E.]

(ii) Calculer s

2

◦ s

3

◦ s

2

(x, y, z), (x, y, z) ∈ R

³

, et d´ ecrire la nature g´ eom´ etrique de s

2

◦ s

3

◦ s

2

. Pouvez-vous expliquer cette observation par un argument g´ en´ eral?

3. (i) Tracer sur le cube C les images s

i

(D), 1 ≤ i ≤ 3, de la diagonale faciale D = (CH). [On veillera ` a justifier tout trait avec soin.]

(ii) Montrer que toute diagonale faciale D

⁰

du cube C, est soit l’image de D par une sym´ etrie conservant les sommets de C, soit l’image de D par la compos´ ee de deux telles sym´ etries.

[Indication: commencer par introduire deux nouveaux plans P

4

et P

5

et d´ eterminer les images s

4

(D), s

5

(D) par les sym´ etries orthogonales s

4

, s

5

de plans P

4

, P

5

.]

Exercice 2

Partie A (S´ ecantes)

On appelle s´ ecante d’une famille de droites affines (D

i

)

1≤i≤l

toute droite affine ∆ telle que ∆ ∩ D

i

est un singleton pour tout 1 ≤ i ≤ l.

Soient D, D

⁰

, D

⁰⁰

les droites d’´ equation

D : y = 0, z = 1 D

⁰

: x = 1, z = 0, D

⁰⁰

: x = 0, y = 1 dans le rep` ere canonique R.

1

(2)

1. Tracer les droites D, D

⁰

, D

⁰⁰

sur une figure du cube C.

2. Donner une ´ equation param´ etrique de la s´ ecante ∆ = (m

⁰

m

⁰⁰

) de (D

⁰

, D

⁰⁰

) passant par les points m

⁰

= (1, Y, 0) et m

⁰⁰

= (0, 1, Z).

3. On suppose x 6= 0 et x 6= 1.

(i) Montrer que le point (x, y, z) appartient ` a une unique s´ ecante ∆ de (D

⁰

, D

⁰⁰

) dont on donnera une ´ equation param´ etrique.

(ii) En d´ eduire que le triplet de droites (D, D

⁰

, D

⁰⁰

) admet une infinit´ e de s´ ecantes.

4.

^?

Soit D

⁰⁰⁰

la diagonale principale de C d’´ equation param´ etrique (t, t, t), t ∈ R. Le quadruplet (D, D

⁰

, D

⁰⁰

, D

⁰⁰⁰

) admet-il une s´ ecante?

Partie B (Sections planes du cube)

Pour un r´ eel s ∈ R, on d´ esigne par P (s) le plan d’´ equation x + y + z = 3s dans le rep` ere canonique R. On se propose ici d’´ etudier les sections P (s) ∩ C en fonction du param` etre s.

1. Montrer que si s 6∈ [0, 1], alors P (s) ∩ C = ∅.

2. On suppose s ∈]0,

¹₃

[. Tracer P (s) sur une figure de C. En d´ eduire que P(s) ∩ C est un triangle plein dont on pr´ ecisera les sommets.

3. On suppose s ∈]

¹₃

,

²₃

[. D´ eterminer les points d’intersection du plan P (s) avec les droites (EF ), (EH ), (BF ), (BC), (DC), (DH). En d´ eduire une description de P (s) ∩ C.