Université Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
9 - INVERSION LOCALE
Exercice 1
a) SoitUle plan privé de l’origine, etf(x,y)=(x2−y2, 2x y). Quel est la relation entre la fonctionf et la fonction g(z)=z2définie pourz∈C\ {0}.
b) Montrer quef est un difféomorphisme local au voisinage de tout point deUmais n’est pas un difféomor- phisme global.
c) Soitgl’application deR2dansR2définie parg(x,y)=(excosy,exsiny). Montrer quegest de classeC1sur R2; queD g(x,y) est inversible pour tout (x,y) deR2; mais quegn’est pas un homéomorphisme deR2sur g(R2). Expliquer ce résultat en considérantgcomme une application deCdansC.
Exercice 2
Soitf définie parf(x)=x+x2sinπx six̸=0 etf(0)=0.
a) Montrer quef est dérivable surR, et quef′(0)̸=0.
b) Montrer que pour toutn∈N∗,f( 1
2n+1
)<f( 1
2n
)<f( 1
2n+1/2
).
c) En déduire quef n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.
Exercice 3
Montrer que sia,bsont voisins de 1, on peut trouverx,y∈Rtels que { y+ex y=a
x+e−x y=b
Exercice 4
SoitE=Mn(R) etIla matrice unité dansE. En considérantφ:E→Etelle queφ(M)=M2, montrer qu’il existe α>0 tel que toute matriceAvérifiant||A−I|| <αadmette une racine carrée.
Exercice 5 Soitf l’application deR2dansR2définie parf(x,y)=(x+y,x y). Trouver un ouvert connexe maxi- malU⊂R2tel quef soit un difféomorphisme deUsurf(U).
Exercice 6
On considère l’applicationφdeR3dans lui-même définie par (x,y,z)→(e2y+e2z,e2x−e2z,x−y). Montrer que φest unC1-difféomorphisme deR3sur son image que l’on précisera.
Exercice 7
Soita,b∈Rtels que|ab| <1, et f :R2→R2définie parf(x,y)=(x+asiny,y+bsinx). Montrer quef est un difféomorphisme deR2sur lui-même.
Exercice 8
Soitg:R→Rune application de classeC1, telle que|g′(x)| ≤kpour toutxréel, oùk∈]0, 1[. On pose F(x,y)=(x+g(y),y+g(x))
a) Montrer queFest unC1-difféomorphisme local au voisinage de tout point deR2.
b) En appliquant le théorème du point fixe àϕ(x,y)=(a−f(y),b−f(x)) pour (a,b)∈R2, montrer queF:R2→ R2est bijective. Conclure.
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Exercice 9
Soitf :Rn→Rnune application de classeC1telle que
∀x,y∈Rn,||f(x)−f(y)|| ≥k||x−y||
oùk>0 est une constante.
a) Montrer quef est de classeC1et queD f(x) est inversible pour toutx∈Rn. En déduire quef est unC1- difféomorphisme deRnsur son image, et quef(Rn) est un ouvert deRn.
b) Montrer quef(Rn) est un fermé deRn.
c) En déduire quef est unC1-difféomorphisme deRnsur lui-même.
Exercice 10
Démontrer le résultat suivant (théorème d’inversion globale) :
SoitE,Fdeux espaces de Banach,Uun ouvert deEetf :U→F une application de classeC1surU. Alors f est unC1-difféomorphisme deUsurf(U) si et seulement si :
(i)f est injective ;
(ii)D f(x)∈est inversible pour toutx∈U.
Attention : cela ne montrepasque f :U→F est surjective.
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