Montrer quef est une fonction de densit´e de probabilit´e 2

TES 5 Interrogation 11A : Correction 8 mars 2018 Exercice 1 :

Soitf la fonction d´efinie sur [0; 2] parf(x) =¹₂x.

1. Montrer quef est une fonction de densit´e de probabilit´e

2. X est la variable al´eatoire continue sur [0; 4] dont la loi a pour densit´e de probabilit´e la fonctionf. Donner les formules pour calculer :

a. P(1< X 62) b. P(X <1)

3. CalculerE(X) Solution:

1. Pour x>0, ¹₂x>0, Z

x=0

21 2xdx=

1 4x²

²

0

= 1−0 = 1.

Doncf est une fonction de densit´e sr [0; 4].

2. a. P(1< X 62) = Z 2

x=1

1 2x²dx=

1 2x²

²

1

= 1−1 2 = 0,5 b. P(X <1) =

Z 1

x=0

= 0,5 3. E(X) =

Z 2

x=0

1 2x²dx=

1 6x³

²

0

= 8 6.

Exercice 2 :

La variable al´eatoireX suit la loi uniforme sur l’intervalle [5; 10].

1. D´efinir la fonctionf de densit´e de probabilit´e de la loiX.

2. D´eterminer la probabilit´e de chacun des ´ev´enements suivants :

a. B={X >8} b. C={6< X <9}

3. D´eterminerE(X).

Solution:

1. f(x) =¹₅.

2. a. P(B) =10−8 5 =²₅ b. P(C) = 9−6

5 = ³₅ 3. E(X) = 7,5